Problema sull'ellisse e sulla lunghezza di una corda

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Ciao, in un esercizio in cui devo determinare l'equazione di un'ellisse e la lunghezza che una corda stacca su di essa.

 

Scrivere l'equazione dell'ellisse centrata nell'origine sapendo che passa per il punto (-2;-3) e che la somma dei reciproci dei quadrati dei semiassi è uguale a 1/7. Calcolare la lunghezza della corda staccata dall'ellisse sulla retta di equazione x+y-5 = 0

 

Mi potete aiutare? Grazie anticipatamente!

Domanda di JohnnyR

 
Soluzione

  • Ciao JohnnyR, allora iniziamo osservando che l'ellisse deve avere equazione della forma

    (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2) = 1

    Imponendo il passaggio dell'ellisse per il punto (-2,-3). Le coordinate del punto devono verificarne l'equazione

    Prima condizione: (4)/(a^2)+(9)/(b^2) = 1

    Ora ricaviamo la seconda equazione che ci serve dal fatto che la somma dei reciproci dei quadrati di a e b è 1/7:

    Seconda condizione: (1)/(a^2)+(1)/(b^2) = (1)/(7)

    Per ricavare a e b dobbiamo mettere a sistema queste due equazioni:

    (4)/(a^2)+(9)/(b^2) = 1 ; (1)/(a^2)+(1)/(b^2) = (1)/(7)

    Risolviamo il sistema. Dalla prima equazione ricaviamo:

    4b^2+9a^2 = a^2b^2

    dalla seconda:

    b^2+a^2 = (1)/(7)a^2b^2

    cioè

    7b^2+7^2 = a^2b^2

    utilizzando il metodo del confronto otteniamo l'equazione seguente:

    4b^2+9a^2 = 7b^2+7^2

    sommando si ha

    -3b^2+2a^2 = 0

    quindi

    b^2 = (2)/(3)a^2

    sostituiamolo in una delle equazioni precedenti, ad esempio in

    4b^2+9a^2 = a^2b^2

    otteniamo

    4((2)/(3)a^2)+9a^2 = a^2((2)/(3)a^2)

    che è un'equazione scomponibile di quarto grado nell'incognita a

    a^2((35)/(3)-(2)/(3)a^2) = 0

    la soluzione a=0 è da scartare (a è al denominatore, non può essere nullo!), quindi abbiamo

    a^2 = (35)/(2)

    quindi, tornando all'altra equazione del sistema

    b^2 = (35)/(3)

    Abbiamo scoperto che l'equazione dell'ellisse è data da

    (x^2)/((35)/(2))+(y^2)/((35)/(3)) = 1.

     

    Ora dobbiamo calcolare la lunghezza della corda staccata sull'ellisse da

    y = 5-x

    Per farlo dobbiamo trovare i punti di intersezione tra ellisse e retta, per poi calcolarne la distanza: trovare i punti di intersezione significa risolvere il sistema:

    (x^2)/((35)/(2))+(y^2)/((35)/(3)) = 1 ; y = 5-x

    Sostituendo y = 5-x nell'equazione dell'ellisse otterrai:

    x^2-6x+8 = 0

    che ha soluzioni

    x_(1,2) = 2 ; 4

    Ora sostituendo questi valori in y = 5-x otteniamo

    y_(1,2) = 3 ; 1

    Dunque ti basterà calcolare la distanza tra i punti A = (2,3), B = (4,1), che è data da

    √((4-2)^2+(1-3)^2) = √(4+4) = 2√(2)

    Alpha.

    Risposta di: Redazione di YouMath
    Ultima modifica:

 
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