Soluzioni
  • Ciao JohnnyR, allora iniziamo osservando che l'ellisse deve avere equazione della forma

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    Imponendo il passaggio dell'ellisse per il punto (-2,-3). Le coordinate del punto devono verificarne l'equazione

    \mbox{Prima condizione: }\ \frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1

    Ora ricaviamo la seconda equazione che ci serve dal fatto che la somma dei reciproci dei quadrati di a e b è 1/7:

    \mbox{Seconda condizione: }\ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{7}

    Per ricavare a e b dobbiamo mettere a sistema queste due equazioni:

    \left\{\begin{matrix}\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\\\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{7}\end{matrix}

    Risolviamo il sistema. Dalla prima equazione ricaviamo:

    4b^2+9a^2=a^2b^2

    dalla seconda:

    b^2+a^2=\frac{1}{7}a^2b^2

    cioè

    7b^2+7^2=a^2b^2

    utilizzando il metodo del confronto otteniamo l'equazione seguente:

    4b^2+9a^2=7b^2+7^2

    sommando si ha

    -3b^2+2a^2=0

    quindi

    b^2=\frac{2}{3}a^2

    sostituiamolo in una delle equazioni precedenti, ad esempio in

    4b^2+9a^2=a^2b^2

    otteniamo

    4(\frac{2}{3}a^2)+9a^2=a^2(\frac{2}{3}a^2)

    che è un'equazione scomponibile di quarto grado nell'incognita a

    a^2(\frac{35}{3}-\frac{2}{3}a^2)=0

    la soluzione a=0 è da scartare (a è al denominatore, non può essere nullo!), quindi abbiamo

    a^2=\frac{35}{2}

    quindi, tornando all'altra equazione del sistema

    b^2=\frac{35}{3}

    Abbiamo scoperto che l'equazione dell'ellisse è data da

    \frac{x^2}{\frac{35}{2}}+\frac{y^2}{\frac{35}{3}}=1.

     

    Ora dobbiamo calcolare la lunghezza della corda staccata sull'ellisse da

    y=5-x

    Per farlo dobbiamo trovare i punti di intersezione tra ellisse e retta, per poi calcolarne la distanza: trovare i punti di intersezione significa risolvere il sistema:

    \left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{\frac{35}{2}}+\frac{y^2}{\frac{35}{3}}=1\\y=5-x\end{matrix}

    Sostituendo y=5-x nell'equazione dell'ellisse otterrai:

    x^2-6x+8=0

    che ha soluzioni

    x_{1,2}=\begin{cases}2\\ 4\end{cases}

    Ora sostituendo questi valori in y=5-x otteniamo

    y_{1,2}=\begin{cases}3\\ 1\end{cases}

    Dunque ti basterà calcolare la distanza tra i punti A=(2,3),\ B=(4,1), che è data da

    \sqrt{(4-2)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}

    Alpha.

    Risposta di Alpha
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