Convergenza di integrale improprio con più funzioni

Buongiorno devo studiare la convergenza di un integrale improprio con logaritmo, radice e arcotangente:

 

integrale su [0,+oo] di [ sqrt(x) arctg(x) ] / [ ( sqrt(1 + x) - 1 ) log(1 + x) ].

 

Possibilmente mi potreste indicare i procedimenti passo dopo passo? Ho bisogno di chiarire diversi dubbi in merito...Grazie in anticipo!

In Uni - Analisi - Domanda di latorre7

Soluzioni

  • Ciao Latorre7, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per studiare la convergenza dell'integrale

    \int_{0}^{+\infty}{\frac{\sqrt{x}\arctan{(x)}}{(\sqrt{(1+x)}-1)\log{(x)}}}

    dobbiamo studiare il comportamento della funzione integranda nell'intorno del punto x=0 e nell'intorno di +\infty.

    In un intorno di x=0, se consideriamo l'integranda, possiamo applicare le seguenti equivalenze asintotiche derivanti dall'applicazione dei limiti notevoli:

    \arctan{(x)}\sim_{x\to 0}x

    \sqrt{1+x}-1=(1+x)^{\frac{1}{2}}-1\sim_{x\to 0}\frac{1}{2}x

    quindi

    \frac{\sqrt{x}\arctan{(x)}}{(\sqrt{(1+x)}-1)\log{(x)}}\sim_{x\to 0}{\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{2}x\log{(x)}}}=\frac{2}{x^{-\frac{1}{2}}\log{(x)}}

    grazie al confronto asintotico con un opportuno integrale improprio notevole - guarda la tabella del link!

    abbiamo che l'integrale proposto converge in un intorno destro di x=0.

    Intorno di +\infty

    Osserviamo che possiamo limitarci a considerare

    \frac{\sqrt{x}\arctan{(x)}}{(\sqrt{(1+x)}-1)\log{(x)}}\sim_{x\to +\infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}\log{(x)}}=\frac{1}{\log{(x)}}

    e quindi concludiamo che l'integrale proposto diverge in un intorno di +\infty.

    In definitiva: l'integrale improprio diverge.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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