Soluzioni
  • Per risolvere il problema con le equazioni è necessario leggere attentamente il testo ed estrapolare le informazioni che consentono di esplicitare la risolvente. Oltre alle abilità interpretative, bisogna ricorrere anche alle formule del triangolo rettangolo e di fatto ciò complica leggermente l'esercizio.

    Senza indugiare oltre, indichiamo con AB, \ BC\ \mbox{e} \ AC i tre lati del triangolo, in particolare:

    AB è l'ipotenusa, vale a dire il lato opposto all'angolo retto;

    BC \ \mbox{e} \ AC sono i cateti, ossia i lati che formano l'angolo retto.

    Sfruttiamo il suggerimento del testo e poniamo

    AB=2x

    Grazie alla frase "il triplo dell'ipotenusa AB supera di 34\mbox{ cm} il doppio della proiezione HB" siamo in grado di esprimere HB in termini dell'incognita x

    3AB=34+2HB \ \ \ \to \ \ \ 3(2x)=34+2HB

    da cui

    HB=\frac{6x-34}{2}=\frac{2(3x-17)}{2} \ \ \ \to \ \ \ HB=3x-17

    Avendo a disposizione sia l'espressione di HB che l'espressione di AB, possiamo calcolare la proiezione AH come la differenza tra l'ipotenusa AB e la proiezione HB

    AH=AB-HB=2x-(3x-17)=17-x

    Ora ragioniamo così: il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa) consente di costruire la proporzione

    AH:CH=CH:HB

    da cui ricaviamo il quadrato di CH

    CH^2=AH\cdot HB

    Interviene a questo punto il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo CHB, che consente di calcolare il quadrato di CB

    CB^2=CH^2+HB^2

    grazie al quale potremo costruire l'equazione risolvente. Calcoliamo il quadrato di AB usando ancora una volta il teorema di Pitagora applicato al triangolo di vertici ABC

    AB^2=CB^2+AC^2=

    Al posto di CB^2 rimpiazziamo la somma dei quadrati di CH\ \mbox{e} \ HB

    =CH^2+HB^2+AC^2=

    e infine sostituiamo CH^2 con il prodotto tra AH\ \mbox{e} \ HB

    =AH\cdot HB+HB^2+12^2

    In definitiva, abbiamo ottenuto la relazione

    AB^2=AH\cdot HB+HB^2+144

    Al posto dei lati scriviamo le relative espressioni algebriche, così da ottenere la risolvente

    (2x)^2=(17-x)(3x-17)+(3x-17)^2+144

    Sviluppiamo i calcoli, usando a dovere le proprietà delle potenze e la regola sul quadrato di binomio

    \\ 4x^2=(17-x)(3x-17)+9x^2-102x+289+144 \\ \\ 4x^2=-3x^2+68x-289+9x^2-102x+289+144

    Trasportiamo tutti i termini al primo membro, sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamoli secondo le potenze decrescenti di x

    -2x^2+34x-144=0

    Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado che possiamo semplificare ulteriormente raccogliendo e semplificando il fattore comune -2

    x^2-17x+72=0

    Indichiamo con a,\ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

    a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-17 \ \ \ ; \ \ \ c=72

    e risolviamo l'equazione calcolando prima di tutto il discriminante

    \Delta=b^2-4ac=(-17)^2-4\cdot 1 \cdot 72=1

    e, osservato che è positivo, determiniamo le soluzioni con la formula

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-17)\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{17\pm 1}{2}=\begin{cases}\frac{17-1}{2}=8=x_1 \\ \\ \frac{17+1}{2}=9=x_2\end{cases}

    Ora che conosciamo i valori che assume x, possiamo calcolare la lunghezza dell'ipotenusa:

    - se x=8 allora l'ipotenusa misura AB=2\cdot x=2\cdot 8=16\mbox{ cm};

    - se x=9, l'ipotenusa misura invece AB=2\cdot x=2\cdot 9=18\mbox{ cm}.

    Il problema è risolto.

    Risposta di Ifrit
 
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