Problema di secondo grado sul triangolo rettangolo

Per risolvere il problema con le equazioni è necessario leggere attentamente il testo ed estrapolare le informazioni che consentono di esplicitare la risolvente. Oltre alle abilità interpretative, bisogna ricorrere anche alle formule del triangolo rettangolo e di fatto ciò complica leggermente l'esercizio.

Senza indugiare oltre, indichiamo con i tre lati del triangolo, in particolare:

è l'ipotenusa, vale a dire il lato opposto all'angolo retto;

sono i cateti, ossia i lati che formano l'angolo retto.

Sfruttiamo il suggerimento del testo e poniamo

Grazie alla frase "il triplo dell'ipotenusa supera di il doppio della proiezione " siamo in grado di esprimere in termini dell'incognita

da cui

Avendo a disposizione sia l'espressione di che l'espressione di , possiamo calcolare la proiezione come la differenza tra l'ipotenusa e la proiezione

Ora ragioniamo così: il secondo teorema di Euclide (in un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa) consente di costruire la proporzione

da cui ricaviamo il quadrato di

Interviene a questo punto il teorema di Pitagora, applicato al triangolo rettangolo , che consente di calcolare il quadrato di

grazie al quale potremo costruire l'equazione risolvente. Calcoliamo il quadrato di usando ancora una volta il teorema di Pitagora applicato al triangolo di vertici

Al posto di rimpiazziamo la somma dei quadrati di

e infine sostituiamo con il prodotto tra

In definitiva, abbiamo ottenuto la relazione

Al posto dei lati scriviamo le relative espressioni algebriche, così da ottenere la risolvente

Sviluppiamo i calcoli, usando a dovere le proprietà delle potenze e la regola sul quadrato di binomio

Trasportiamo tutti i termini al primo membro, sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamoli secondo le potenze decrescenti di

Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado che possiamo semplificare ulteriormente raccogliendo e semplificando il fattore comune -2

Indichiamo con rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto

e risolviamo l'equazione calcolando prima di tutto il discriminante

e, osservato che è positivo, determiniamo le soluzioni con la formula

Ora che conosciamo i valori che assume , possiamo calcolare la lunghezza dell'ipotenusa:

- se allora l'ipotenusa misura ;

- se , l'ipotenusa misura invece .

Il problema è risolto.