Semplificazione delle espressioni letterali con i prodotti notevoli

Dovrei semplificare un'espressione letterale facendo ricorso dei prodotti notevoli. Mi pare di aver riconosciuto il prodotto di una somma per una differenza, però sviluppando i calcoli ottengo il risultato errato. 

Semplificare la seguente espressione letterale, avvalendosi degli opportuni prodotti notevoli.

(2y-x)(x-2y)-2x^2+7y^2-3y(y+x)+3x(x-y)

Grazie.

Domanda di bubu
Soluzione

Per semplificare l'espressione

(2y-x)(x-2y)-2x^2+7y^2-3y(y+x)+3x(x-y) =

bisogna conoscere a menadito le operazioni con i polinomi, in particolare bisogna prestare la massima attenzione nel momento in cui calcoliamo i prodotti tra polinomi.

Il primo prodotto si calcola usando la regola sul quadrato di binomio, infatti se raccogliamo il segno meno nella prima parentesi ricaviamo:

= -(x-2y)(x-2y)-2x^2+7y^2-3y(y+x)+3x(x-y) =

Grazie alle proprietà delle potenze, e in particolare grazie alla regola sul prodotto di due potenze con la stessa base, l'espressione diventa

= -(x-2y)^2-2x^2+7y^2-3y(y+x)+3x(x-y) =

Sviluppiamo il quadrato del binomio

= -(x^2-4xy+4y^2)-2x^2+7y^2-3y(y+x)+3x(x-y) =

e utilizziamo la regola dei segni per sbarazzarci delle parentesi tonde: basta cambiare i segni dei termini al loro interno, così da ottenere la seguente espressione

= -x^2+4xy-4y^2-2x^2+7y^2-3y(y+x)+3x(x-y) =

Eseguiamo il prodotto tra i monomi e i polinomi a essi associati

= -x^2+4xy-4y^2-2x^2+7y^2-3y^2-3yx+3x^2-3xy =

e sommiamo tra loro i monomi simili

= (-1-2+3)x^2+(4-3-3)xy+(-4+7-3)y^2 =

e scriviamo il risultato dell'espressione

= -2xy

Abbiamo finito!

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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