Integrale definito con xe^x

Question

Non riesco a risolvere un integrale definito con xe^x, mi spiegate come fare per piacere? Purtroppo non ho molta dimestichezza con gli integrali in cui compare una funzione esponenziale. L'integrale definito è ∫_(5)^(6)5xe^(x)dx

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Vogliamo calcolare l'integrale ∫_(5)^(6)5xe^(x)dx = (•) e per farlo possiamo procedere la formula di integrazione per parti. Nel nostro caso prenderemo come derivata g'(x) = e^(x) che ammette come primitiva g(x) = e^(x) e come fattore finito f(x) = 5x Grazie alla formula di integrazione per parti otteniamo (•) = ∫_(5)^(6)e^(x)·5xdx = [5xe^(x)]_(5)^(6)-∫_(5)^(6)5e^(x)dx = Grazie alle proprietà degli integrali, possiamo trasportare fuori dal simbolo di integrazione le costanti moltiplicative = [5xe^(x)]_(5)^(6)-5∫_(5)^(6)e^(x)dx = e osservare che quello rimasto è un integrale notevole, di cui conosciamo già il risultato ; = [5xe^(x)]_(5)^(6)-5[e^(x)]_(5)^(6) = 30e^(6)-25e^(5)-5(e^(6)-e^(5)) = 5e^(5)(5e-4) dove nell'ultimo passaggio abbiamo effettuato un raccoglimento totale del termine 5e^(5).