Soluzioni
  • Per risolvere il sistema di equazioni

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2x(x+8)=4(y-3)\end{cases}

    possiamo procedere con il metodo di sostituzione: dalla prima equazione sappiamo che x è uguale a y-3, pertanto, una volta operata la sostituzione, la seconda equazione del sistema si tramuta in un'equazione di secondo grado in y

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2(y-3)((y-3)+8)=4(y-3)\end{cases}

    Svolgiamo i calcoli

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2(y-3)(y+5)=4(y-3)\end{cases}

    trasportiamo tutti i termini al primo membro

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2(y-3)(y+5)-4(y-3)=0\end{cases}

    Per risolvere la seconda equazione, raccogliamo totalmente il fattore comune (y-3)

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ (y-3)\left[2(y+5)-4\right]=0\end{cases}

    e svolgiamo i calcoli all'interno delle parentesi quadre

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ (y-3)\left(2y+6\right)=0\end{cases}

    Tralasciamo per il momento la prima equazione del sistema e occupiamoci esclusivamente della seconda.

    Per calcolare le soluzioni dell'equazione

    (y-3)\left(2y+6\right)=0

    possiamo avvalerci della legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori è nullo, vale a dire:

    y-3=0 \ \ \ \vee \  \ \ 2y+6=0

    dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "oppure". Entrambe le relazioni sono delle semplicissime equazioni di primo grado, risolvibili isolando l'incognita al primo membro

    y=3 \ \ \ \vee \ \ \ 2y=-6 \ \ \ \to \ \ \ y=3 \ \ \ \vee \ \ \ y=-3

    Se y=3, la relazione x=y-3 diventa x=3-3=0, per cui la prima coppia (x,y) che soddisfa il sistema è:

    (x,y)=(0,3)

    Se y=-3, l'uguaglianza x=y-3 si tramuta in x=-3-3=-6, pertanto la seconda coppia che soddisfa il sistema è:

    (x,y)=(-6,-3)

    In conclusione, il sistema di secondo grado

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2x(x+8)=4(y-3)\end{cases}

    è soddisfatto dalle coppie (x,y)=(0,3) \ \mbox{e} \ (x,y)=(-6,-3).

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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