Sistema con una equazione di secondo grado

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Mi è capitato un esercizio sui sistemi di equazioni non lineari che non sono in grado di risolvere. Penso si debba procedere con il metodo di sostituzione, però non capisco come muovermi.

 

Risolvere il seguente sistema di equazioni

 

\begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2x(x+8)=4(y-3)\end{cases}

 

Grazie mille.

Domanda di Guerriero_95

 
Soluzioni

  • Per risolvere il sistema di equazioni

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2x(x+8)=4(y-3)\end{cases}

    possiamo procedere con il metodo di sostituzione: dalla prima equazione sappiamo che x è uguale a y-3, pertanto, una volta operata la sostituzione, la seconda equazione del sistema si tramuta in un'equazione di secondo grado in y

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2(y-3)((y-3)+8)=4(y-3)\end{cases}

    Svolgiamo i calcoli

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2(y-3)(y+5)=4(y-3)\end{cases}

    trasportiamo tutti i termini al primo membro

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2(y-3)(y+5)-4(y-3)=0\end{cases}

    Per risolvere la seconda equazione, raccogliamo totalmente il fattore comune (y-3)

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ (y-3)\left[2(y+5)-4\right]=0\end{cases}

    e svolgiamo i calcoli all'interno delle parentesi quadre

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ (y-3)\left(2y+6\right)=0\end{cases}

    Tralasciamo per il momento la prima equazione del sistema e occupiamoci esclusivamente della seconda.

    Per calcolare le soluzioni dell'equazione

    (y-3)\left(2y+6\right)=0

    possiamo avvalerci della legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori è nullo, vale a dire:

    y-3=0 \ \ \ \vee \ \ \ 2y+6=0

    dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "oppure". Entrambe le relazioni sono delle semplicissime equazioni di primo grado, risolvibili isolando l'incognita al primo membro

    y=3 \ \ \ \vee \ \ \ 2y=-6 \ \ \ \to \ \ \ y=3 \ \ \ \vee \ \ \ y=-3

    Se y=3, la relazione x=y-3 diventa x=3-3=0, per cui la prima coppia (x,y) che soddisfa il sistema è:

    (x,y)=(0,3)

    Se y=-3, l'uguaglianza x=y-3 si tramuta in x=-3-3=-6, pertanto la seconda coppia che soddisfa il sistema è:

    (x,y)=(-6,-3)

    In conclusione, il sistema di secondo grado

    \begin{cases}x=y-3 \\ \\ 2x(x+8)=4(y-3)\end{cases}

    è soddisfatto dalle coppie (x,y)=(0,3) \ \mbox{e} \ (x,y)=(-6,-3).

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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