Soluzioni
  • Scusate ho sbagliato! Devo trovare il valore di E che massimizza V, non il valore massimo di E... Grazie :)
    Risposta di ilmorris
  • Ciao ilmorris, ho bisogno di qualche dettaglio in più: p,t,s\in\mathbb{R}\mbox{?} Inoltre le funzioni V,U,R sono funzioni definite in \mathbb{R} a valori in \mathbb{R}?
    Risposta di Alpha
  • Ciao Alpha, grazie mille :) Dunque, le condizioni sono queste: [list] [*] p è compreso tra 0 e 1 [*] t è compreso tra 0 e 1 [*] s è compreso tra 0 e 1 [*] R non è una funzione ma un numero appartenente all'insieme R+ (non so fare il simbolo, numeri reali positivi cmq :D) [*]U e V sono funzioni definite in R a valori in R [/list] Grazie :)
    Risposta di ilmorris
  • Cosa significa che U è una funzione solo di R, se R è una costante reale positiva? Comunque il procedimento è questo, anche se secondo me mancano alcuni dettagli per poter risolvere il problema: 1. Deriva la funzione V rispetto ad E; 2. Poni la derivata \frac{dV}{dE}\geq 0; 3. Trovi il massimo risolvendo la disequazione.
    Risposta di Alpha
  • Ho un informazione aggiuntiva, U è una funzione crescente e concava di R, non so se serve...
    Risposta di ilmorris
  • [quote]Cosa significa che U è una funzione solo di R, se R è una costante reale positiva? Comunque il procedimento è questo, anche se secondo me mancano alcuni dettagli per poter risolvere il problema: 1. Deriva la funzione V rispetto ad E; 2. Poni la derivata \frac{dV}{dE}\geq 0; 3. Trovi il massimo risolvendo la disequazione.[/quote] No R non è una costante, è una variabile che può assumere valori reali positivi, scusa :) Il procedimento è chiaro, ma come faccio il punto 1? E' una derivata parziale? Grazie..
    Risposta di ilmorris
  • Non hai un'espressione esplicita per U? Comunque la derivata è

    \frac{dV}{dE}=t\cdot (1-p)\frac{dU}{dE}((1-t)R+tE)+p\cdot \frac{dU}{dE}((1-t)R+E(t-s))(t-s)

    ma a questo punto ci serve sapere com'è U per poter risolvere la disequazione.

    Risposta di Alpha
  • Ce li hai ancora i passaggi della derivata? Me li scriveresti per favore :)?
    Risposta di ilmorris
  • Te li scrivo:

    V=(1-p)U[(1-t)R+tE]+pU[(1-t)R+tE-sE]

    Prima di derivare raccolgo E in U[(1-t)R+tE-sE]:

    V=(1-p)U[(1-t)R+tE]+pU[(1-t)R+E(t-s)]

    A questo punto calcoliamo:

    \frac{dV}{dE}=\frac{d(1-p)U[(1-t)R+tE]+pU[(1-t)R+E(t-s)]}{dE}

    La derivata è lineare, quindi la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate:

    \frac{dV}{dE}=\frac{d\{(1-p)U[(1-t)R+tE]\}}{dE}+\frac{d\{pU[(1-t)R+E(t-s)]\}}{dE}

    non solo, possiamo portare fuori dalla derivata le costanti, ovvero i coefficienti che dipendono solo da p e t:

    \frac{dV}{dE}=(1-p)\frac{d\{U[(1-t)R+tE]\}}{dE}+p\frac{d\{U[(1-t)R+E(t-s)]\}}{dE}

    A questo punto dobbiamo calcolare

    \frac{d\{U[(1-t)R+tE]\}}{dE}

    per farlo dobbiamo utilizzare la regola di derivazione per funzioni composte, cioè

    [f(g(x))]^{\prime}=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)

    quindi

    \frac{d\{U[(1-t)R+tE]\}}{dE}=\frac{dU}{dE}([(1-t)R+tE])\cdot \frac{d([(1-t)R+tE])}{dE} ma \frac{d([(1-t)R+tE])}{dE}=0+\frac{d(tE)}{dE}=t

    Questo perché nel primo addendo E non compariva, quindi si tratta come una costante, che ha derivata nulla. Dobbiamo fare la stessa cosa per

    \frac{d\{U[(1-t)R+E(t-s)]\}}{dE}=\frac{dU}{dE}[(1-t)R+E(t-s)]\cdot \frac{d((1-t)R+E(t-s))}{dE}

    vale lo stesso ragionamento di prima, cioè:

    \frac{d((1-t)R+E(t-s))}{dE}=0+\frac{d(E(t-s))}{dE}=t-s

    A questo punto sostituendo le derivate che abbiamo appena calcolato in

    \frac{dV}{dE}=(1-p)\frac{d\{U[(1-t)R+tE]\}}{dE}+p\frac{d\{U[(1-t)R+E(t-s)]\}}{dE}

    Otterrai proprio la derivata che avevamo calcolato:

    \frac{dV}{dE}=t\cdot (1-p)\frac{dU}{dE}((1-t)R+tE)+p\cdot (t-s)\frac{dU}{dE}((1-t)R+tE-sE)

    Ora grazie alle informazioni aggiuntive che mi hai dato su U, ovvero crescente e concava in R, posso dirti che sicuramente ponendo la derivato =0 otterrai un punto di massimo, quindi il problema diventa più semplice, ci basta riuscire a risolvere l'equazione \frac{dV}{dE}=0.

    Risposta di Alpha
  • Grande Alpha, adesso è tutto chiarissimo :D

    Se mi spieghi solo questa cosa poi possiamo anche chiudere la domanda :) :

    "Ora grazie alle informazioni aggiuntive che mi hai dato su U, ovvero crescente e concava in R, posso dirti che sicuramente ponendo la derivato =0 otterrai un punto di massimo"

    Grazie :)

    Risposta di ilmorris
  • Si, certo, se la funzione è concava in R allora quando la derivata si annulla di certo non può essere un minimo, perché la funzione avrebbe questa forma:

     

    alt

     

    Questo caso è da escludere proprio perché U è concava, quindi nel punto in cui la derivata si annulla dovrà essere della forma:

     

    alt

     

    il punto di derivata nulla è quindi un massimo.

     

    Che ne dici? Se non sono stato abbastanza chiaro chiedimi pure! :)

    Risposta di Alpha
  • No no, tutto chiarissimo, grazie mille :)

     

    Risposta di ilmorris
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi