Integrale di Riemann di una funzione crescente

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Ho un'altra domanda sull'integrale di Riemann su un intervallo, con una funzione integranda crescente... :)

 

Sia f integrabile secondo Riemann nell'intervallo [5,12] con f crescente in [5,12]. Allora

 

a) f(5) ≤∫(definito tra 5 e 12) f(x) dx ≤ f(12)

b) 7f(5) ≤ ∫(definito tra 5 e 12) f(x) dx ≤ 7f(12)

d) f(5)/7 ≤ ∫(definito tra 5 e 12) f(x) dx ≤ f(12)/7

e) ∫(definito tra 5 e 12) f(x) dx = f(9)

 

Spero sia chiaro, grazie. Siete di grande aiuto!

Domanda di alice

 
Soluzioni

  • Ciao Alice arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Sia f una funzione integrabile secondo Riemann nell'intervallo [5, 12] e crescente in tale intervallo allora per il teorema di Weierstrass la funzione ammette massimo e minimo, inoltre poiché è crescente allora il minimo sarà

    m= f(5)

    mentre il massimo

    M= f(12)

    Conseguentemente:

    f(5)\le f(x)\le f(12)\quad\forall x\in [5, 12]

    Integrando membro a membro, le disuguaglianze non si invertono questo perché l'operatore integrale è monotòno otterremo:

    \int_{5}^{12}f(5)dx\le \int_{5}^{12}f(x)dx\le\int_{5}^{12} f(12)dx

     

    f(5) e f(12) sono costanti quindi

    \int_{5}^{12}f(5)dx= f(5)\int_{5}^{12}dx= f(5)(12-5)= 7f(5)

    mentre

    \int_{5}^{12} f(12)dx= f(12)(12-5)= 7f(12)

    Tornando alla catena di disuguaglianze avremo:

    7f(5)\le \int_{5}^{12}f(x)dx\le7 f(12)

    che è la risposta b )

     

    Finito! :D 

    Risposta di Ifrit
 
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