Soluzioni
  • Per risolvere il sistema di equazioni

    \begin{cases}x^2+y^2-12x+4y+15=0\\ \\ x+y-11=0\end{cases}

    occorre prendere in considerazione la seconda ed esprimere y in termini di x

    \begin{cases}x^2+y^2-12x+4y+15=0\\ \\ x=-y+11\end{cases}

    dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta al posto delle x nella prima equazione (è la medesima strategia del metodo di sostituzione per i sistemi lineari).

    \begin{cases}(-y+11)^2+y^2-12(-y+11)+4y+15=0\\ \\ x=-y+11\end{cases}

    Sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo le operazioni con i monomi così da scrivere in forma normale l'equazione di secondo grado.

    \begin{cases}y^2-22 y+121+y^2+12y-132+4y+15=0 \\ \\ x=-y+11\end{cases}

    da cui

    \begin{cases}2y^2-6y+4=0\\ \\ x=-y+11\end{cases}

    Se dividiamo per due i membri della prima equazione, ricaviamo il sistema equivalente

    \begin{cases}y^2-3y+2=0\\ \\ x=-y+11\end{cases}

    A questo punto tralasciamo momentaneamente la seconda relazione e occupiamoci dell'equazione di secondo grado

    y^2-3y+2=0

    Indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di y^2, quello di y e il termine noto

    a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-3 \ \ \ , \ \ \ c=2

    e calcoliamo il discriminante (Delta) associato all'equazione con la formula

    \Delta=b^2-4ac=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1

    Poiché il discriminante è positivo, l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte:

    \\ y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2}= \\ \\ \\ =\frac{3\pm 1}{2}=\begin{cases}\frac{3-1}{2}=1=y_{1}\\ \\ \frac{3+1}{2}=2=y_2\end{cases}

    Abbiamo ricavato due valori in y e a ciascuno di essi dobbiamo associare i rispettivi valori di x sfruttando l'uguaglianza

    x=-y+11

    Se y=1, l'uguaglianza diventa

    x=-1+11 =10

    per cui la coppia (x,y)=(10,1) soddisfa il sistema.

    Se y=2, l'equazione lineare si tramuta in

    x=-2+11=9

    per cui (x,y)=(9,2) è un'ulteriore coppia che soddisfa il sistema.

    In conclusione, il sistema

    \begin{cases}x^2+y^2-12x+4y+15=0\\ \\ x+y-11=0\end{cases}

    è soddisfatto dalle coppie (x,y)=(10,1)\ \mbox{e} \ (x,y)=(9,2).

    Abbiamo finito!

    Approfondimento: dal punto di vista geometrico, il sistema fornisce i punti di intersezione tra la circonferenza di equazione x^2+y^2-12x+4y+15=0 e la retta di equazione x+y-11=0.

    Risposta di Ifrit
 
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