Dimostrare che la funzione esponenziale è continua

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Il professore di Analisi Matematica ci ha chiesto di dimostrare che la funzione esponenziale è continua, ma sinceramente mi trovo un po' in difficoltà.


Dimostrare che la funzione

 

f(x) = a^(x) con a > 0 ∧ a ne1

 

è continua per ogni x∈R.

Domanda di matteo

 
Soluzioni

  • Per dimostrare che la funzione esponenziale

    f(x) = a^(x) con a > 0 ∧ a ne 1

    è una funzione continua, consideriamo un qualsiasi punto di x_0∈ Dom(f), dove con Dom(f) indichiamo il dominio della funzione che coincide con l'insieme dei numeri reali.

    Vogliamo dimostrare che per ogni ε > 0 esiste un numero reale δ positivo e dipendente da ε tale che se |x-x_0| < δ allora risulta che

    |a^(x)-a^(x_0)| < ε

    Partiamo da un generico ε > 0 e imponiamo la disequazione con valore assoluto

    |a^(x)-a^(x_0)| < ε

    che grazie alle proprietà delle potenze si può esprimere nella forma equivalente

    |a^(x_0)(a^(x-x_0)-1)| < ε

    Osserviamo che a^(x_0) è una quantità positiva, e in accordo con le proprietà del valore assoluto, la disequazione diventa

    |a^(x_0)|·|a^(x-x_0)-1| < ε → a^(x_0)|a^(x-x_0)-1| < ε

    da cui otteniamo

    |a^(x-x_0)-1| < (ε)/(a^(x_0))

    Grazie alla teoria delle disequazioni con il modulo, l'ultima disequazione si può esprimere come

    -(ε)/(a^(x_0)) < a^(x-x_0)-1 < (ε)/(a^(x_0))

    e ancora sommando 1 ai tre membri otteniamo

    1-(ε)/(a^(x_0)) < a^(x-x_0) < 1+(ε)/(a^(x_0))

    Senza perdita di generalità, possiamo supporre che la base a sia maggiore di 1 e applicare il logaritmo in base a ai tre membri

    log_(a)(1-(ε)/(a^(x_0))) < x-x_0 < log_(a)(1+(ε)/(a^(x_0)))

    Osserviamo che affinché il logaritmo al primo membro sia ben definito dobbiamo richiedere che il suo argomento sia maggiore di 0, ossia

    1-(ε)/(a^(x_0)) > 0 → (ε)/(a^(x_0)) < 1 → 0 < ε < a^(x_0)

    Naturalmente l'ultima condizione non inficia in alcun modo la definizione di continuità giacché ε è un numero reale positivo piccolo a piacere.

    Ponendo

    δ = min|log_(a)(1-(ε)/(a^(x_0)))| , |log_(a)(1+(ε)/(a^(x_0)))|

    otteniamo che se x realizza la disuguaglianza

    |x-x_0| < δ

    allora f(x) soddisfa la relazione

    |a^(x)-a^(x_0)| < ε

    ossia la funzione esponenziale è una funzione continua in x_0. Dall'arbitrarietà di x_0∈R deduciamo che la funzione f(x) = a^(x) è continua in tutto l'asse reale.

    Se la base a è compresa tra 0 e 1, il procedimento è analogo, l'unica accortezza che bisogna avere consiste nel prestare attenzione alla disequazione

    1-(ε)/(a^(x_0)) < a^(x-x_0) < 1+(ε)/(a^(x_0))

    Poiché 0 < a < 1 nel momento in cui applichiamo il logaritmo in base a dobbiamo ricordarci di cambiare i versi della doppia disequazione

    log_(a)(1+(ε)/(a^(x_0))) < x-x_0 < log_(a)(1-(ε)/(a^(x_0)))

    perché la funzione logaritmo con base compresa tra 0 e 1 è monotona strettamente decrescente. Da qui in poi, i passaggi dimostrativi sono identici al caso considerato in precedenza.

    Risposta di Ifrit
 
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