Soluzioni
  • Per dimostrare che la funzione esponenziale

    f(x)=a^{x} \ \ \ \mbox{con} \ a>0\wedge a\ne 1

    è una funzione continua, consideriamo un qualsiasi punto di x_0\in Dom(f), dove con Dom(f) indichiamo il dominio della funzione che coincide con l'insieme dei numeri reali.

    Vogliamo dimostrare che per ogni \varepsilon>0 esiste un numero reale \delta positivo e dipendente da \varepsilon tale che se |x-x_0|<\delta allora risulta che

    |a^{x}-a^{x_0}|<\varepsilon

    Partiamo da un generico \varepsilon>0 e imponiamo la disequazione con valore assoluto

    |a^{x}-a^{x_0}|<\varepsilon

    che grazie alle proprietà delle potenze si può esprimere nella forma equivalente

    |a^{x_0}(a^{x-x_0}-1)|<\varepsilon

    Osserviamo che a^{x_0} è una quantità positiva, e in accordo con le proprietà del valore assoluto, la disequazione diventa

    |a^{x_0}|\cdot|a^{x-x_0}-1|<\varepsilon\to a^{x_0}|a^{x-x_0}-1|<\varepsilon

    da cui otteniamo

    |a^{x-x_0}-1|<\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}

    Grazie alla teoria delle disequazioni con il modulo, l'ultima disequazione si può esprimere come

    -\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}<a^{x-x_0}-1<\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}

    e ancora sommando 1 ai tre membri otteniamo

    1-\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}<a^{x-x_0}<1+\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}

    Senza perdita di generalità, possiamo supporre che la base a sia maggiore di 1 e applicare il logaritmo in base a ai tre membri

    \log_{a}\left(1-\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}\right)<x-x_0<\log_{a}\left(1+\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}\right)

    Osserviamo che affinché il logaritmo al primo membro sia ben definito dobbiamo richiedere che il suo argomento sia maggiore di 0, ossia

    1-\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}>0\to\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}<1\to0<\varepsilon<a^{x_0}

    Naturalmente l'ultima condizione non inficia in alcun modo la definizione di continuità giacché \varepsilon è un numero reale positivo piccolo a piacere.

    Ponendo

    \delta=\mbox{min}\left\{\left|\log_{a}\left(1-\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}\right)\right|\ , \ \left|\log_{a}\left(1+\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}\right)\right|\right\}

    otteniamo che se x realizza la disuguaglianza

    |x-x_0|<\delta

    allora f(x) soddisfa la relazione

    |a^{x}-a^{x_0}|<\varepsilon

    ossia la funzione esponenziale è una funzione continua in x_0. Dall'arbitrarietà di x_0\in\mathbb{R} deduciamo che la funzione f(x)=a^{x} è continua in tutto l'asse reale.

    Se la base a è compresa tra 0 e 1, il procedimento è analogo, l'unica accortezza che bisogna avere consiste nel prestare attenzione alla disequazione

    1-\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}<a^{x-x_0}<1+\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}

    Poiché 0<a<1 nel momento in cui applichiamo il logaritmo in base a dobbiamo ricordarci di cambiare i versi della doppia disequazione

    \log_{a}\left(1+\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}\right)<x-x_0<\log_{a}\left(1-\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}\right)

    perché la funzione logaritmo con base compresa tra 0 e 1 è monotona strettamente decrescente. Da qui in poi, i passaggi dimostrativi sono identici al caso considerato in precedenza.

    Risposta di Ifrit
 
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