Soluzioni
  • Ciao Frascatano arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Proviamo in questo modo:

    \int_{\ln(\pi/2)}^{\ln(\pi)}e^{4x}\sin(e^{2x})dx

    Il primo passo che mi viene in mente è quello di calcolare l'integrale per sostituzione ponendo:

    e^{2x}=t\implies 2 e^{2x}dx= dt\implies e^{2x}dx= \frac{dt}{2}

    Vedi ora e^{4x}dx= e^{2x} e^{2x}dx = \frac{t}{2} dt

    Gli estremi di integrazione cambiano di conseguenza:

    \ln(\pi/2)\to \frac{\pi^4}{4}

    \ln(\pi)\to \pi^2

    e questo grazie alla sostituzione effettuata.

    L'integrale si riscrive come:

    \int_{\frac{\pi^4}{4}}^{\pi^2}\frac{t}{2}\sin(t)dt

    A questo punto puoi tranquillamente integrare per parti scegliendo come fattore finito f(t)= t

    e come fattore differenziale g'(t)= \sin(t)

    Il resto sono conti che sono certissimo sai fare ;)

    Risposta di Ifrit
  • non ho capito perche e^4x è uguale a t/2 e poi come si comportano gli estremi di integrazione....

     

    perche dal tuo ragionamento e^2x=t  lo derivo quindi 2e^2xdx=dt  quindi e^2xdx=dt/2

     

    quindi andando a sostiture come hai fatto te e^2x*e^2x dx=dt/2  e da qui non riesco a capire cosa hai fatto

    Risposta di frascatano
  • Segue dal fatto che:

    e^{2x}dx= \frac{dt}{2}\qquad (1.1)

    Osserva infatti che:

    e^{4x}dx= e^{2x+2x}dx= e^{2x}\cdot e^{2x}dx

     

    Ora ho utilizzato

    e^{2x}dx 

    per costruire il differenziale diviso 2 (vedi (1.1) )

    Mentre dalla sostituzione t=e^{2x} segue che:

    e^{4x}dx= e^{2x+2x}dx= e^{2x}\cdot e^{2x}dx= t \frac{dt}{2}

     

    Estremi

    Per ottenerli devi sostituire ad x i valori degli estremi

    t_1= e^{2\ln(\pi/2)}= e^{\ln(\pi^2/2^2)}= \frac{\pi^2}{4}

    Stessa cosa per l'altro estremo:

    t_2= e^{2\ln(\pi)}= e^{\ln(\pi^2)}=\pi^2

    Ho utilizzato le proprietà del logaritmo:

    a\ln(b)= \ln(b^a)\quad b\textgreater 0

     

    e inoltre la relazione fondamentale che lega il logaritmo con l'esponenziale:

    e^{\ln(a)}= a\quad \forall a\textgreater 0

    Risposta di Ifrit
  • perfetto grazie

    Risposta di frascatano
 
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