Soluzioni
  • Ciao Alice arrivo, però dammi un po' di tempo ok?

    Risposta di Ifrit
  • Esattamente, il rango della matrice incompleta deve essere uguale al rango della matrice completa (Rouché Capelli)

     

    Consideriamo la matrice completa

    A|b=\begin{pmatrix}5&5&1\\4&3&7\\k+1&k-1&7\end{pmatrix}

    Determinaimao il determinante:

    \det(A|b)=5(3\cdot 7-7(k-1))-5(4\cdot 7-7(k+1))+(4\cdot(k-1)-3\cdot (k+1))= 28+k

     

    Se il determinate è diverso da zero allora la matrice completa avrà rango massimo (cioè 3), affinché abbia lo stesso rango con la matrice incopleta, dobbiamo pretendere che il determinante sia nullo:

    \mbox{det}(A)=0\iff 28+k=0\implies k= -28 

    In tal caso per k= -28 la matrice diventa

    A|b=\begin{pmatrix}5&5&1\\4&3&7\\-27&-29&7\end{pmatrix}

    Riducendo a scala con Gauss scoprirai che ha rango 2.

     

    La matrice dei coefficienti ha rango due questo perché la submatrice:

    M= \begin{pmatrix}5&5\\ 4&3\end{pmatrix}

    ha determinante non nullo. 

    Quindi il rango della matrice incompleta è 2 indipendentemente dal valore di k.

    Per Rouché Capelli segue che la soluzione è unica :)

    Risposta di Ifrit
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