Soluzioni
  • Nell'equazione goniometrica

    2\sin^4(x)-4\sin^2(x)=\sqrt{3}\cos^3(x)-2

    l'idea è quella di fare meno calcoli possibili. Raccogliamo 2\sin^2(x) a primo membro:

    2\sin^2(x)[\sin^2(x)-2]=\sqrt{3}\cos^3(x)-2

    dopodiché sfruttiamo la relazione fondamentale della trigonometria per esprimere il quadrato del seno in termini del quadrato del coseno

    \sin^2(x)=1-\cos^2(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    Una volta operata la sostituzione, l'equazione diventa

    \\ 2(1-\cos^2(x))[1-\cos^2(x)-2]=\sqrt{3}\cos^3(x)-2 \\ \\ 2(1-\cos^2(x))[-1-\cos^2(x)]=\sqrt{3}\cos^3(x)-2

    Raccogliamo il segno meno all'interno delle parentesi quadre

    -2(1-\cos^2(x))(1+\cos^2(x))=\sqrt{3}\cos^3(x)-2

    dopodiché sfruttiamo la regola del prodotto di una somma per una differenza per semplificare l'espressione al primo membro

    -2(1-\cos^4(x))=\sqrt{3}\cos^3(x)-2

    da cui

    -2+2\cos^4(x)=\sqrt{3}\cos^{3}(x)-2

    Cancellato -2 ad ambo i membri e trasportato il coseno al cubo al primo membro, ricaviamo l'equazione goniometrica

    2\cos^4(x)-\sqrt{3}\cos^3(x)=0

    Raccogliamo totalmente \cos^{3}(x)

    \cos^3(x)[2\cos(x)-\sqrt{3}]=

    e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, che ci autorizza a considerare le equazioni goniometriche elementari

    \\ \cos^3(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ \cos(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ \\ \mbox{e} \\ \\ 2\cos(x)-\sqrt{3}=0 \ \ \ \to \ \ \ \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2} 

    da cui ricaviamo

    x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi

    dove k è un parametro che varia nell'insieme dei numeri interi.

    In definitiva, l'equazione

    2\sin^4(x)-4\sin^2(x)=\sqrt{3}\cos^3(x)-2

    è soddisfatta dalla seguenti famiglie di valori

    x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi

    dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

    Risposta di Ifrit
 
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