Soluzioni
  • Ciao Padosuperstar, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Eccoci: :) Andiamo un punto alla volta.

    Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 e sia B=(v1, v2, v3) una sua base. Si consideri un'applicazione lineare f:V->V tale che ker(f)={xv1+ yv2+zv3 E V x+y+z=0} ed f(v1+v2-v3) = v3 - v2 -v1;

    a)Cosa possiamo dire di f sui vettori v1-v2 e v1-v3?

    Dato che Ker(f)=\{xv_1+yv_2+zv_3\mbox{ t.c. }x+y+z=0\}, si vede subito che

    v_1-v_2\in Ker(f)

    v_1-v_3\in Ker(f)

    infatti i coefficienti di v_1-v_3 e v_1-v_2 soddisfano la definizione di appartenenza al nucleo dell'applicazione lineare f.

    Ok?

    Risposta di Omega
  • um... ok bene questo punto lo ho cannato..

     

    Risposta di padosuperstar
  • si ok praticamente già dalla definizione  dovevo capire ... Cry perchè x, y,z mi mandano la f in 0 giusto?

    procediamo con il secondo punto!

     

    Risposta di padosuperstar
  • Uhm. Frown

    Passiamo al secondo (non scappare, così chiudiamo subito il discorso Wink )

    b) si dimostri che l'applicazione f è univocamente determinata dalle condizioni esposte e  si determini la matrice f rispetto alla base B;

    Per quanto riguarda questo punto, bisogna ragionare sul nucleo e sull'immagine: ci servirebbero, in particolare, le immagini degli elementi della base considerata, vale a dire

    B=\{v_1,v_2,v_3\}

    Conoscendo tali immagini, la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B è data dalla matrice avente per colonne i vettori immagine, cioè

    f(v_1),f(v_2),fv_{3})

    Osserviamo che il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione 2, in quanto individuato da un'equazione cartesiana:

    x+y+z=0

    dove x,y,z sono le coordinate del generico vettore di ker(f) rispetto alla base B.

    In particolare, sapendo che

    f(v_1-v_2)=0

    f(v_1-v_3)=0

    sommando le due equazioni abbiamo per linearità che

    f(2v_1-v_2-v_3)=(0,0,0)

    inoltre, per ipotesi, sappiamo che

     f(v_1+v_2-v_3) = (-1,-1,1)

    Quindi osserviamo che

    f(v_1+v_2-v_3)=f(v_1-v_3)+f(v_2)=(-1,-1,1)

    ossia, essendo v_1-v_3\in Ker(f)

    f(v_2)=(-1,-1,1)

    Da f(v_1-v_2)=0 ricaviamo per linearità

    f(v_1)=f(v_2)

    ed infine da f(v_1-v_3)=0 ricaviamo, sempre per linearità

    f(v_1)=f(v_3)

    quindi la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B è data da

    \left[\begin{matrix}-1&-1&-1\\ -1&-1&-1\\ 1&1&1\end{matrix}\right]

    ...

    Risposta di Omega
  • ah corbezzo proprio di principio ho sagliato l'esecuzone..  ok procediamo, intanto me a scrivo co studio i passaggi!

    PS: io lo so perchè non sono stato in grado i risolverlo... questa prof, da nel compito es. che a lezione non si sono mai svolti, quindi o uno è un genio, oppure arranca come me...

    Risposta di padosuperstar
  • Purtroppo sono esercizi che fanno riferimento alle definizioni, quindi in linea di principio possono essere risolti conocscendo le sole definizioni. In linea di principio, perché in realtà ci vuole molta pratica per prenderci confidenza. Tra il dire e il fare... Yell

    Pronti per il terzo punto:

    c) si trovino applicazioni lineari non nulle g:V->V e h:V->V tali che gºf e fºh siano l'applicazione lineare nulla.

    Qui sappiamo che 

    g\circ f=0

    quindi Im(f)\subseteq ker(g)

    Da tale condizione deduciamo subito che, sempre ragionando in termini di matrici rappresentative, dato che la composizione di applicazioni lineari si traduce nel prodotto tra le matrici associate, abbiamo che

    BA=0

    dove B rappresenta g e A rappresenta f, ad esempio rispetto alla base B.

    Dalla precedente condizione si evince che le righe di B devono essere vettori ortogonali alle colonne di A. E qui puoi sbizzarrirti nella scelta, perché la matrice A la conosci.

    Per f\circ h=0, si ragiona allo stesso modo, osservando che

    AC=0

    basta prendere una matrice C rappresentativa di h con colonne ortogonali alle righe di A.

    Per inciso, l'ortogonalità tra vettori si definisce mediante l'annullamento del prodotto scalare tra i due vettori stessi.

    ...

    Risposta di Omega
  • si ma la odio questa prof.. e da una vita che io e miei amici ci stiamo dietro, poi all'esame mette sempre es. bastardi che vediamo per la prima volta...

    cmq tornando all'esercizio nostro

    si a questo piu' o meno c'ero arrivato, grazie ad un vecchio es. simile, praticamente devo scegliere una matrice B in modo che BA=0 e idem con AC=0

    Risposta di padosuperstar
  • d)si provi che l'applicazione lineare f è diagonalizzabile e si trovi una matricediagonale che la rappresenta rispetto ad una base di autovettori

    In questo caso il procedimento che hai seguito è corretto, devi solo ripetere i calcoli partendo dalla giusta matrice rappresentativa.

    (Ci vediamo sul Forum con quell'altro problema Wink)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille!, si ci sono ancora 2 problemi, uno sugli spazi euclidei (che penso sia giusto) e l'altro una dimostrazione per induzione che sinceramente non so come procedere.

    Risposta di padosuperstar
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