Numero di radici di un polinomio
Buondì vorrei sapere come ricavare il numero di radici per il polinomio in questo esercizio e come fare per dare una stima delle radici. Si consideri il polinomio di terzo grado
Studiarlo per stabilire quante radici ha e determinare una stima delle radici con un errore inferiore a 1/7.
In pratica si tratta di studiare il numero di soluzioni dell'equazione polinomiale di terzo grado
Per quaanto riguarda la stima devo usare il metodo di bisezione? Grazie a tutti.
Ciao Rinovanchi, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Per risolvere l'esercizio, e per prima cosa determinare il numero di radici reali del polinomi,
bisogna addurre considerazioni di tipo qualitativo, in particolare è sufficiente osservare che il polinomio ha limiti 
per 
e 
per . Inoltre, la derivata prima del polinomio è data da
che è un polinomio sempre positivo sull'asse reale, quindi 
è una funzione sempre crescente.
In definitiva: vi è una sola intersezione con l'asse delle ascisse, cioè una sola radice del polinomio .
Dimostrata l'esistenza, cerchiamo di localizzarla: se consideriamo la valutazione del polinomio nel punto 
, troviamo
mentre se consideriamo la valutazione dello stesso in 
Dunque il teorema degli zeri di Bolzano ci garantisce che la radice si trova nell'intervallo ![[−1,0]](data:image/gif;base64,R0lGODlhMAASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKira2tmJiYubm5szMzFBQUHR0dJ6enhYWFgQEBAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAwABIAAASkEAAxiLw4682zGoMUdt0hFORFGIqxYOOYYkiiBG+6CBeDisDZBjcTWCSfS0w4zJECP8CioQwyMUQSIoC4FAKHoOwqyXa+XQlaTMY6OWs1l60W2O94Q8bM2UYXYHRtAHwcZgRUgm2FGwIKFwYyS4OEbwgDYRg7PWkAk1cHCQIBDAk/X48ZKwQJb5+UGkdCr7AYsjO0tVKZs1a6Ere4EhTBvzMfAxEAOw==){kind=small}
.
Fin qui tutto chiaro?
Namasté!
Risposta di Omega
si perfetto.
Dopodiché si procede con la bisezione fino a che l'intervallo preso in considerazione non ha un ampiezza pari a 2/7 corretto?
Risposta di rinovanchi
Il fatto di avere una sola intersezione con l'asse delle ascisse da cosa mi é garantito? dal fatto che la derivata prima é sempre crescente?
Mentre i limiti verso piú infinito e meno infinito per quale motivo li calcolo?
Grazie
Risposta di rinovanchi
I limiti agli estremi del dominio si calcolano per avere un'idea di quello che è l'andamento globale del polinomio su 
, in particolare per dire rigorosamente che la funzione "attraversa" tutti i valori di ordinata da a .
Tra l'altro, il fatto che sia una funzione continua (naturalmente) e che sia sempre screscente non solo ci assicura l'esistenza della radice, ma ci garantisce pure l'unicità della stessa, grazie alla monotonia.
Poi si procede per bisezione finché non si determina un intervallo di ampiezza non superiore a 
, come hai correttamente osservato. Uno dei due estremi di tale intervallo fornirà l'approssimazione dello zero del polinomio.
Namasté!
Risposta di Omega