Esercizio su massimi e minimi in 2 variabili senza calcoli

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Ho un pessimo esercizio teorico e di ragionamento sui massimi e minimi di una funzione a due variabili riferiti ad una circonferenza: dimostrare che la funzione

 

f(x,y) = sin(x)+sin(y)

 

ristretta alla circonferenza di equazione

 

x^2+y^2 = (π^2)/(2)

 

ammette come valore massimo sulla circonferenza 2. Non so nemmeno da dove cominciare né dove sbattere la testa, anche facendolo con i calcoli escono dei conti insostenibili...

Grazie!

Domanda di lampard

 
Soluzioni

  • Ciao lamparda arrivo :P Dammi un po' di tempo ok? xD

    Risposta di Ifrit

  • Ho trovato un modo, ma è deduttivo (immagino che tutto il compito fosse così)

    f(x, y) = sin(x)+sin(y) ⇒ |f(x, y)| ≤ |sin(x)|+|sin(y)| ≤ 2

    Se riusciamo a dimostrare che esiste una coppia (x, y) tale che:

    f(x, y) = 2

    il problema è risolto.

    Sia x = y allora:

    f(x, y) = g(x) = 2sin(x)

    Da qui segue che la funzione -2 ≤ g(x) ≤ 2

    Il massimo sarà 2

    mentre il vincolo diventa:

    2x^2 = (π^2)/(2) ⇒ x^2 = (π^2)/(4)

    conseguentemente:

    |x| = (π)/(2)

    Per x > 0 ⇒ x = (π)/(2)

    Da cui

    g(π/2) = 2

    Dunque il punto 

    ((π)/(2),(π)/(2))

    realizza il massimo per la funzione f(x, y)

     

    Esercizi belli tosti i vostri :P

    Risposta di Ifrit

  • sei un genio... peccato ke io nn ci sarei mai arrivato

    ty

    ps al nostro docente nn piacciono gli esercizi banali

    Risposta di lampard
 
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