Parabola e dimensioni di un rettangolo inscritto

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Ciao, c'è un esercizio su un rettangolo inscritto in una parabola che non so come risolvere. Mi potreste spiegare come risolverlo?

 

Data la parabola di vertice nel punto V(3;4) e tangente alla retta y-2x+1=0 inscrivi nella parte di piano individuata dalla curva e dall'asse x un rettangolo che abbia base doppia dell'altezza.

 

Grazie!

Domanda di cicchibio

 
Soluzioni

  • Ciao Cicchibio, grazie per aver riaperto la domanda! Arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per risolvere il problema, dobbiamo determinare l'equazione della parabola, che (affinché il problema abbia senso) deve necessariamente essere ad asse di simmetria verticale, dunque della forma

    y = ax^2+bx+c

    Dalle formule per le coordinate del vertice della parabola:

    x_v = (-b)/(2a) = 3

    y_v = (-Δ)/(4a) = -(b^2-4ac)/(4a) = 4

    Dalla prima condizione ricaviamo

    b = -6a

    Sostituiamola nella seconda

    36a^2-4ac = -16a

    da cui

    36a^2-4ac+16a = 0

    risolvendola come un'equazione di secondo grado in a otteniamo

    a = 0 (dobbiamo scartarlo)

    c = 9a+4

    Ora imponendo la condizione di tangenza, non prima di aver sostituito i coefficienti nella generica equazione

    y = ax^2-6ax+9a+4

    mettiamo a sistema l'equazione della parabola con l'equazione della retta 

    y = 2x-1

    Otteniamo un'equazione di secondo grado, di cui dobbiamo richiedere l'annullamento del discriminante (condizione di tangenza):

    ax^2+(-6a-2)x+9a+5 = 0

    Richiedendo che il delta si annulli:

    4a+4 = 0

    troviamo

    a = -1

    e quindi l'equazione della parabola è data da

    y = -x^2+6x-5

    Un secondo e vediamo la parte finale dell'esercizio... ;)

    Risposta di Omega

  • Per inscrivere il rettangolo richiesto, è sufficiente considerare un'ordinata y = y_0 che sarà la misura dell'altezza del rettangolo. La condizione su tale ordinata è, naturalmente, che y_0 < 4 (l'ordinata del vertice della parabola).

    Questa ordinata individua sulla parabola due punti, dati da

    (x_1,y_0),(x_2,y_0)

    Noi vogliamo che

    |x_2-x_1| = 2y_0

    per trovare i due punti x_(1,2), basta considerare il sistema

    y = -x^2+6x-5

    y = y_0

    che fornisce l'equazione

    -x^2+6x-5-y_0 = 0

    Risolvere tale equazione determinando così le due ascisse x_(1,2) e sostituire tali ascisse, che dipendono da y_0, nell'equazione che esprime la relazione tra base e altezza del rettangolo.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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