Parabola e dimensioni di un rettangolo inscritto
Ciao, c'è un esercizio su un rettangolo inscritto in una parabola che non so come risolvere. Mi potreste spiegare come risolverlo?
Data la parabola di vertice nel punto V(3;4) e tangente alla retta y-2x+1=0 inscrivi nella parte di piano individuata dalla curva e dall'asse x un rettangolo che abbia base doppia dell'altezza.
Grazie!
Ciao Cicchibio, grazie per aver riaperto la domanda! Arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Per risolvere il problema, dobbiamo determinare l'equazione della parabola, che (affinché il problema abbia senso) deve necessariamente essere ad asse di simmetria verticale, dunque della forma
Dalle formule per le coordinate del vertice della parabola:
Dalla prima condizione ricaviamo
Sostituiamola nella seconda
da cui
risolvendola come un'equazione di secondo grado in 
otteniamo
(dobbiamo scartarlo)
Ora imponendo la condizione di tangenza, non prima di aver sostituito i coefficienti nella generica equazione
mettiamo a sistema l'equazione della parabola con l'equazione della retta
Otteniamo un'equazione di secondo grado, di cui dobbiamo richiedere l'annullamento del discriminante (condizione di tangenza):
Richiedendo che il delta si annulli:
troviamo
e quindi l'equazione della parabola è data da
Un secondo e vediamo la parte finale dell'esercizio... ;)
Risposta di Omega
Per inscrivere il rettangolo richiesto, è sufficiente considerare un'ordinata 
che sarà la misura dell'altezza del rettangolo. La condizione su tale ordinata è, naturalmente, che 
(l'ordinata del vertice della parabola).
Questa ordinata individua sulla parabola due punti, dati da
Noi vogliamo che
per trovare i due punti 
, basta considerare il sistema
che fornisce l'equazione
Risolvere tale equazione determinando così le due ascisse e sostituire tali ascisse, che dipendono da 
, nell'equazione che esprime la relazione tra base e altezza del rettangolo.
Namasté!
Risposta di Omega