Parabola e dimensioni di un rettangolo inscritto

Ciao, c'è un esercizio su un rettangolo inscritto in una parabola che non so come risolvere. Mi potreste spiegare come risolverlo?

Data la parabola di vertice nel punto V(3;4) e tangente alla retta y-2x+1=0 inscrivi nella parte di piano individuata dalla curva e dall'asse x un rettangolo che abbia base doppia dell'altezza.

Grazie!

Domanda di cicchibio
Soluzioni

Ciao Cicchibio, grazie per aver riaperto la domanda! Arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Per risolvere il problema, dobbiamo determinare l'equazione della parabola, che (affinché il problema abbia senso) deve necessariamente essere ad asse di simmetria verticale, dunque della forma

y = ax^2+bx+c

Dalle formule per le coordinate del vertice della parabola:

x_v = (-b)/(2a) = 3

y_v = (-Δ)/(4a) = -(b^2-4ac)/(4a) = 4

Dalla prima condizione ricaviamo

b = -6a

Sostituiamola nella seconda

36a^2-4ac = -16a

da cui

36a^2-4ac+16a = 0

risolvendola come un'equazione di secondo grado in a otteniamo

a = 0 (dobbiamo scartarlo)

c = 9a+4

Ora imponendo la condizione di tangenza, non prima di aver sostituito i coefficienti nella generica equazione

y = ax^2-6ax+9a+4

mettiamo a sistema l'equazione della parabola con l'equazione della retta 

y = 2x-1

Otteniamo un'equazione di secondo grado, di cui dobbiamo richiedere l'annullamento del discriminante (condizione di tangenza):

ax^2+(-6a-2)x+9a+5 = 0

Richiedendo che il delta si annulli:

4a+4 = 0

troviamo

a = -1

e quindi l'equazione della parabola è data da

y = -x^2+6x-5

Un secondo e vediamo la parte finale dell'esercizio... ;)

Risposta di Omega

Per inscrivere il rettangolo richiesto, è sufficiente considerare un'ordinata y = y_0 che sarà la misura dell'altezza del rettangolo. La condizione su tale ordinata è, naturalmente, che y_0 < 4 (l'ordinata del vertice della parabola).

Questa ordinata individua sulla parabola due punti, dati da

(x_1,y_0),(x_2,y_0)

Noi vogliamo che

|x_2-x_1| = 2y_0

per trovare i due punti x_(1,2), basta considerare il sistema

y = -x^2+6x-5

y = y_0

che fornisce l'equazione

-x^2+6x-5-y_0 = 0

Risolvere tale equazione determinando così le due ascisse x_(1,2) e sostituire tali ascisse, che dipendono da y_0, nell'equazione che esprime la relazione tra base e altezza del rettangolo.

Namasté!

Risposta di Omega

Domande della categoria Superiori - Geometria
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