Soluzioni
  • Ciao Rinovanchi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per prima cosa, calcoliamo lo sviluppo in serie di Taylor della funzione

    g(x)=(1-2x)^{\frac{1}{3}}

    dato che poi ci servirà per calcolare il limite per x\to 0, effettuaimo lo sviluppo con centro x_0=0. Applicando la formula di Taylor e arrestandoci al secondo ordine, troviamo

    g(x)=1-\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}x^2+o(x^2)

    Poi passiamo a considerare

    f(x):= 2[(1-2x)^{\frac{1}{3}})] - 2 +\frac{4}{3} x

    Sostituendo lo sviluppo di Taylor

    f(x)= 2[(1-2x)^{\frac{1}{3}})] - 2 +\frac{4}{3}3 x=2\left[1-\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}x^2+o(x^2)\right]-2+\frac{4}{3}x\right]

    Rimane:

    f(x)=-\frac{8}{9}x^2+o(x^2)

    A questo punto è fatta: sostituiamo lo sviluppo nella limite

    \lim_{x\to 0}{\frac{f(x)}{2x^2}}=\lim_{x\to 0}{\frac{-\frac{8}{9}x^2+o(x^2)}{2x^2}}

    e, dato che per definizione di o-piccolo abbiamo che o(x^2)/x^2\to_{x\to 0} 0, concludiamo che il limite vale -4/9.

    Dato che questo mi sembra un esercizio di "approccio" all'utilizzo di Taylor nel calcolo dei limiti, e dato che soprattutto all'inizio questo è un argomento particolarmente delicato, ti suggerisco di dare un'occhiatuzza qui: esercizi svolti sugli sviluppi di Taylor. Così, se volessi approfondire...Wink

    Se qualcosa fosse poco chiaro, non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi il limite ha lo stesso valore sia per x che tende a 0- sia per x che tende a 0+ ?

     

    Grazie

    Risposta di rinovanchi
  • Assolutamente sì, perché nell'intorno di x=0 i limiti di Taylor mostrano che la frazione è la somma di una costante e di un termine infinitesimo. Il risultato del limite è quindi una costante. Poi, si può specificare come la funzione si approssima a tale costante, se da sotto o da sopra, a seconda che x\to 0^{\pm}, ma qui non serve.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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