Serie a segni alterni con parametro

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Salve ho una serie parametrica a segni alterni; il testo mi dice di aiutarmi con lo sviluppo di Taylor del logaritmo, devo studiare la convergenza assoluta e semplice della serie. Per la prima non ho problemi, ma per quella standard come mi devo comportare?

 

Σ_(n = 1)^∞ (-1)^n n^a|log(1+(1)/(n)+(1)/(n^2))-(1)/(n)|

 

Devo discutere la serie al variare del parametro a. Grazie a tutti!

Domanda di frascatano

 
Soluzioni

  • Ciao frascatano arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Σ_(n = 1)^∞ (-1)^n n^a|log(1+(1)/(n)+(1)/(n^2))-(1)/(n)|

    Considera la successione:

    a_n: = n^a|log(1+(1)/(n)+(1)/(n^2))-(1)/(n)|

    Condizione necessaria ma non sufficiente affinché la serie converga è che il limite per n che tende a + infinito della suddetta sia zero.

    Ora noi sappiamo che:

    |log(1+(1)/(n)+(1)/(n^3))-(1)/(n)| ~ (1)/(2 n^2)

    Dunque a_n ~ (n^a)/(2 n^2) = (1)/(2 n^(2-a))

    Il limite 

    lim_(n → ∞)a_n = 0 ⇔ lim_(n → ∞)(1)/(2 n^(2-a)) = 0

    Il secondo limite è soddisfatto se e solo se

    2-a > 0 ⇔ a < 2

    A questo punto studi la convergenza assoluta, e ti accorgerai che converge se e solo se a < 1

    Ora la serie deve essere studiata oer 1 ≤ a < 2, possiamo utilizzare Leibnitz.

    La successione

    a_n = n^a |ln(1+(1)/(n)+(1)/(n^3))|

    per n molto grande a_n ~ (1)/(2n^(2-a))

    A questo punto studia la serie:

    Σ_(n = 1)^(∞)((-1)^n)/(2n^(2-a)) 

    con il criterio di Leibniz

     

    Risposta di Ifrit

  • allora in poche parole per la convergenza semplice per usare liebniz potevo prendere direttamente prendere la mia an che mi è stata ottenuta dalle stime asintotiche del logaritmo??

     

    Perche io ho provato a studiare la derivata e vedere se era decrescente tra 0 e 1 della mia an senza pero arrivare a nulla...

    Risposta di frascatano

  • scusa ma perche a te log(1+1/n+1/n^3)-1/n  ti viene 1/2n^2??

     

    non dovrebbe rimanerti 1/n??

    Risposta di frascatano

  • ln(1+(1)/(n)+(1)/(n^3)) = (1)/(n)-(1)/(2)((1)/(2 n^2))+o((1)/(n^2))

     

    Da cui

    ln(1+(1)/(n)+(1)/(n^3))-(1)/(n) = -(1)/(2)((1)/(2 n^2))+o((1)/(n^2))

     

    Ti torna ora? :)

    Risposta di Ifrit

  • Frascatano, leggi la parte del regolamento relativa al numero di repliche consecutive Wink 

    Risposta di Omega

  • scusa allora avrei dovuto applicare lo sviluppo di teylor al log ??e fermarmi al terzo ordine? ma perche non mi si annulla la serie,quindi non è indispensabile fare teylor?? o devo fare teylor ugualmente perche nel termine log non ho la n al secondo grado..

     

    io ho fatto log(1+1/n+1/n^3)-1/n per la stima asintotica l ho scritto come 1/n+1/n^3-1/n ecco perche mi rimane 1/n^3

     

    non riesco a capire

    Risposta di frascatano

  • Perdonami, ma tu a quale ordine ti sei fermato? 

    Tu hai fatto questo:

    ln(1+t) = 1+t+o(t)

    di conseguenza:

    ln(1+1/n+1/n^3) = 1+(1)/(n)+(1)/(n^3)+o((1)/(n))

    dunque:

    ln(1+1/n+1/n^3) = 1+(1)/(n)+o((1)/(n))

     

    Ti sei fermato troppo presto :P

    Risposta di Ifrit

  • mi sono fermato qui 1+1/n+1/n^3 +o(1/n^3) come hai scritto te per questo mi rimane 1/n^3 (perche 1/n-1/n,che mi da il testo=0)

     

    avrei dovuto fare allora ln(1+t)=1+t+t^2/2

     

    Quindi avrei nel mio caso 1+1/n+1/n^3+1/2n^2+1/n^6

     

    quindi ecco perche del 1/2*n^2  + o(1/n^3)

     

    ma perche però se mi fossi fermato al primo ordine avrei sbagliato??Da cos ami potevo accorgermi che dovevo continuare con teylor??

     

     

    Risposta di frascatano

  • Dall'utilizzo degli o-piccolo:

    Proviamo a sviluppare ln(1+x+x^3) con McLaurin (utilizzo questa così non mi porto dietro le frazioni)

    ln(1+x+x^3) = 1+x+x^3+o(x+x^3) = 1+x+x^3+o(x) = 1+x+o(x)

    Cosa ho fatto?

    Dire che una funzione f è un opiccolo di x+x^3

    significa, per definizione di o-piccolo che:

    lim_(x → 0)(f(x))/(x+x^3) = 0

    Raccogliendo x al denominatore abbiamo:

    lim_(x → 0)(f(x))/(x(1+x^2)) = 0 ⇒ lim_(x → 0)(f(x))/(x) = 0

    quindi in realtà se la funzione f = o_(0)(x+x^3) ⇒ f = o_(0)(x)

    Questa è la dimostrazione del fatto che o_(0)(x+x^3) = o_0(x)

    Risposta di Ifrit
 
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