Soluzioni
  • Ciao frascatano arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • \sum_{n=1}^\infty (-1)^n n^a\left|\log\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)-\frac{1}{n}\right|

    Considera la successione:

    a_n:= n^a\left|\log\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)-\frac{1}{n}\right|

    Condizione necessaria ma non sufficiente affinché la serie converga è che il limite per n che tende a + infinito della suddetta sia zero.

    Ora noi sappiamo che:

    \left|\log\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}\right)-\frac{1}{n}\right|\sim \frac{1}{2 n^2}

    Dunque a_n\sim \frac{n^a}{2 n^2}= \frac{1}{2 n^{2-a}}

    Il limite 

    \lim_{n\to \infty}a_n =0\iff \lim_{n\to \infty }\frac{1}{2 n^{2-a}}=0

    Il secondo limite è soddisfatto se e solo se

    2-a\textgreater 0\iff a\textless 2

    A questo punto studi la convergenza assoluta, e ti accorgerai che converge se e solo se a<1

    Ora la serie deve essere studiata oer 1\le a\textless 2, possiamo utilizzare Leibnitz.

    La successione

    a_n=n^a \left|\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}\right)\right|

    per n molto grande a_n\sim \frac{1}{2n^{2-a}}

    A questo punto studia la serie:

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n^{2-a}} 

    con il criterio di Leibniz

     

    Risposta di Ifrit
  • allora in poche parole per la convergenza semplice per usare liebniz potevo prendere direttamente prendere la mia an che mi è stata ottenuta dalle stime asintotiche del logaritmo??

     

    Perche io ho provato a studiare la derivata e vedere se era decrescente tra 0 e 1 della mia an senza pero arrivare a nulla...

    Risposta di frascatano
  • scusa ma perche a te log(1+1/n+1/n^3)-1/n  ti viene 1/2n^2??

     

    non dovrebbe rimanerti 1/n??

    Risposta di frascatano
  • \ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}\right)= \frac{1}{n}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n^2}\right) +o\left(\frac{1}{n^2}\right)

     

    Da cui

    \ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}\right)-\frac{1}{n}=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2 n^2}\right)+o\left(\frac{1}{n^2}\right)

     

    Ti torna ora? :)

    Risposta di Ifrit
  • Frascatano, leggi la parte del regolamento relativa al numero di repliche consecutive Wink 

    Risposta di Omega
  • scusa allora avrei dovuto applicare lo sviluppo di teylor al log ??e fermarmi al terzo ordine? ma perche non mi si annulla la serie,quindi non è indispensabile fare teylor?? o devo fare teylor ugualmente perche nel termine log non ho la n al secondo grado..

     

    io ho fatto log(1+1/n+1/n^3)-1/n per la stima asintotica l ho scritto come 1/n+1/n^3-1/n ecco perche mi rimane 1/n^3

     

    non riesco a capire

    Risposta di frascatano
  • Perdonami, ma tu a quale ordine ti sei fermato? 

    Tu hai fatto questo:

    \ln(1+t)= 1+t+o(t)

    di conseguenza:

    \ln(1+1/n+1/n^3)= 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}+o\left(\frac{1}{n}\right)

    dunque:

    \ln(1+1/n+1/n^3)= 1+\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)

     

    Ti sei fermato troppo presto :P

    Risposta di Ifrit
  • mi sono fermato qui 1+1/n+1/n^3 +o(1/n^3) come hai scritto te per questo mi rimane 1/n^3 (perche 1/n-1/n,che mi da il testo=0)

     

    avrei dovuto fare allora ln(1+t)=1+t+t^2/2

     

    Quindi avrei nel mio caso 1+1/n+1/n^3+1/2n^2+1/n^6

     

    quindi ecco perche del 1/2*n^2  + o(1/n^3)

     

    ma perche però se mi fossi fermato al primo ordine avrei sbagliato??Da cos ami potevo accorgermi che dovevo continuare con teylor??

     

     

    Risposta di frascatano
  • Dall'utilizzo degli o-piccolo:

    Proviamo a sviluppare \ln(1+x+x^3) con McLaurin (utilizzo questa così non mi porto dietro le frazioni)

    \ln(1+x+x^3)= 1+x+x^3+o(x+x^3)= 1+x+x^3+o(x)= 1+x+o(x)

    Cosa ho fatto?

    Dire che una funzione f è un opiccolo di x+x^3

    significa, per definizione di o-piccolo che:

    \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x+x^3}=0

    Raccogliendo x al denominatore abbiamo:

    \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x(1+x^2)}=0\implies \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0

    quindi in realtà se la funzione f=o_{0}(x+x^3)\implies f=o_{0}(x)

    Questa è la dimostrazione del fatto che o_{0}(x+x^3)=o_0(x)

    Risposta di Ifrit
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