Soluzioni
  • Il primo punto del problema ci chiede di ricavare le coordinate del punto B(x_{B},y_{B}) in modo che insieme ai punti

    A(x_A,y_A)=(1,-2) \ \ \ ; \ \ \ C(x_C,y_{C})=(7,1) \ \ \ ; \ \ \ D(x_D,y_D)=(3,0)

    formino un parallelogramma.

    A tal proposito consideriamo la generica equazione della retta

    r: \ y=mx+q

    e imponiamo le condizioni di passaggio per i punti C e D. In altri termini sostituiamo al posto di x\ \mbox{e} \ y rispettivamente i valori dell'ascissa e dell'ordinata di entrambi i punti.

    \\ C\in r \ \to \ 1=7m+q \\ \\ D\in r \ \to \ 0=3m+q

    Le condizioni devono valere contemporaneamente per cui costruiamo il seguente sistema

    \begin{cases}7m+q=1\\ 3m+q=0\end{cases}

    dove le incognite sono il coefficiente angolare della retta (m) e l'ordinata all'origine (q). Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione.

    Dalla seconda equazione esprimiamo q in termini di m

    \begin{cases}7m+q=1\\ q=-3m\end{cases}

    dopodiché sostituiamo l'espressione nella prima

    \begin{cases}7m+(-3m)=1 \ \ \ \to \ \ \ 4m=1\\ q=-3m\end{cases}

    Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente che m=\frac{1}{4}, e risostituendo il valore ottenuto nella seconda, otteniamo il valore di q

    q=-3\cdot\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}

    La retta r passante per i punti C\ \mbox{e} \ D è quindi

    r: \ y=\frac{1}{4}x-\frac{3}{4}

    che in forma implicita diventa

    r:\ x-4y-3=0

    Usiamo lo stesso ragionamento per ricavare l'equazione della retta s passante per i punti A\ \mbox{e} \ D.

    Consideriamo la generica equazione

    s: \ y=mx+q

    e imponiamo il passaggio per i punti A\ \mbox{e}\  D

    \\ A\in s \ \to \ -2=m+q \\ \\ D\in s \ \to \ 0=3m+q

    Mettiamo a sistema le due equazioni e determiniamone le eventuali soluzioni

    \begin{cases}m+q=-2\\ 3m+q=0\end{cases}

    Usando il metodo di sostituzione, ricaviamo immediatamente che 

    m=1 \ \ \ ; \ \ \ q=-3

    Alla luce di ciò, l'equazione della retta s è

    s:\ y=x-3

    Affinché ABCD sia un parallelogramma, dobbiamo pretendere che i lati opposti siano tra loro paralleli: ciò equivale a richiedere che la retta contenente AB sia parallela alla retta contenente CD, così come la retta contenente AD sia parallela alla retta BC.

    Per ricavare la retta passante per i punti A\ \mbox{e} \ B basta scrivere il fascio di rette centrato in A

    r_{AB} \ y=m_{1}(x-x_A)+y_A \ \ \to \ \ \ y=m_1(x-1)-2

    e determinare m_1 usando la condizione di parallelismo: due rette del piano sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, oppure se sono entrambe nella forma x=k con k numero reale.

    Affinché r_{AB} sia parallela ad r imponiamo l'uguaglianza tra i loro coefficienti angolari

    m_1=m_r\ \ \ \to \ \ \ m_1=\frac{1}{4}

    pertanto l'equazione di r_{AB} è

    r_{AB}: \ y=\frac{1}{4}(x-1)-2 \ \ \ \to \ \ \ y=\frac{1}{4}x-\frac{9}{4}

    Determiniamo la retta passante per B\ \mbox{e}\ C usando il medesimo ragionamento. Scriviamo il fascio centrato in C

    s_{BC}:\ y=m_{2}(x-x_{C})+y_{C} \ \ \ \to \ \ \ y=m_2(x-7)+1

    dopodiché determiniamo m_2 in modo che s_{BC} sia parallela a s

    m_2=m_{s}\ \ \ \to \ \ \ m_2=1

    In definitiva, l'equazione della retta passante per s_{BC} è

    s_{BC}:\ y=(x-7)+1\ \ \ \to \ \ \ y=x-6

    Per costruzione, B è il punto di intersezione tra le rette r_{AB} ed s_{BC}, per cui è l'unica soluzione del sistema

    r_{AB}\cap s_{BC} \ : \ \begin{cases}y=\dfrac{1}{4}x-\dfrac{9}{4}\\ \\ y=x-6\end{cases}

    che si può scrivere in maniera equivalente come

    \begin{cases}x-4y-9=0 \\ y=x-6\end{cases}

    Procedendo con il metodo di sostituzione, scopriamo che le coordinate di B sono:

    B(x_{B},y_{B})=(5,-1)

    Area del parallelogramma

    L'area del parallelogramma è data dal prodotto tra la lunghezza di una base per quella dell'altezza relativa. Fissiamo come base il lato di estremi C=(7,1) e D=(3,0) e calcoliamone la lunghezza con la formula della distanza tra punti

    \\ \mbox{base}=\overline{CD}=\sqrt{(x_{C}-x_{D})^2+(y_{C}-y_{D})^2}= \\ \\ =\sqrt{(7-3)^2+(1-0)^2}=\sqrt{17}

    La lunghezza dell'altezza relativa al lato CD coincide con la distanza tra la retta r e B: si ricava quindi con la formula della distanza di un punto da una retta

    \mbox{altezza}=\frac{|a x_{B}+b y_{B}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=(\bullet)

    dove x_{B},y_{B} sono le coordinate di B, mentre a,b,c sono i coefficienti della retta r espressa in forma implicita, ossia

    a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-4 \ \ \ ; \ \ \ c=-3

    Sostituendoli nella formula troviamo

    (\bullet)=\frac{|1\cdot 5+(-4)\cdot (-1)+(-3)|}{\sqrt{1^2+(-4)^2}}=\frac{6}{\sqrt{17}}

    Disponiamo finalmente di tutti gli elementi per calcolare l'area del parallelogramma

    \\ \mbox{Area}=\mbox{base}\cdot\mbox{altezza}=\\ \\ \\ =\sqrt{17}\cdot\frac{6}{\sqrt{17}}=6

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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