Area di un parallelogramma in geometria analitica

Question

Sto provando a risolvere un problema di geometria analitica con un parallelogramma di vertici dati, di cui devo calcolare l'area, ma non riesco a venirne a capo. Dati i seguenti punti del piano cartesiano A = (1,-2) ; C = (7,1) , D = (3,0) Determinare le coordinate del punto B in modo che ABCD sia un parallelogramma e calcolarne l'area.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Il primo punto del problema ci chiede di ricavare le coordinate del punto in modo che insieme ai punti

formino un parallelogramma.

A tal proposito consideriamo la generica equazione della retta

e imponiamo le condizioni di passaggio per i punti C e D. In altri termini sostituiamo al posto di rispettivamente i valori dell'ascissa e dell'ordinata di entrambi i punti.

C∈ r → 1 = 7m+q ; D∈ r → 0 = 3m+q

Le condizioni devono valere contemporaneamente per cui costruiamo il seguente sistema

7m+q = 1 ; 3m+q = 0

dove le incognite sono il coefficiente angolare della retta e l'ordinata all'origine . Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione.

Dalla seconda equazione esprimiamo in termini di

7m+q = 1 ; q = -3m

dopodiché sostituiamo l'espressione nella prima

7m+(-3m) = 1 → 4m = 1 ; q = -3m

Dalla prima equazione ricaviamo immediatamente che , e risostituendo il valore ottenuto nella seconda, otteniamo il valore di

La retta passante per i punti è quindi

che in forma implicita diventa

Usiamo lo stesso ragionamento per ricavare l'equazione della retta passante per i punti .

Consideriamo la generica equazione

e imponiamo il passaggio per i punti

A∈ s → -2 = m+q ; D∈ s → 0 = 3m+q

Mettiamo a sistema le due equazioni e determiniamone le eventuali soluzioni

m+q = -2 ; 3m+q = 0

Usando il metodo di sostituzione, ricaviamo immediatamente che

Alla luce di ciò, l'equazione della retta è

Affinché sia un parallelogramma, dobbiamo pretendere che i lati opposti siano tra loro paralleli: ciò equivale a richiedere che la retta contenente sia parallela alla retta contenente , così come la retta contenente sia parallela alla retta .

Per ricavare la retta passante per i punti basta scrivere il fascio di rette centrato in

e determinare usando la condizione di parallelismo: due rette del piano sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, oppure se sono entrambe nella forma con numero reale.

Affinché sia parallela ad imponiamo l'uguaglianza tra i loro coefficienti angolari

pertanto l'equazione di è

Determiniamo la retta passante per usando il medesimo ragionamento. Scriviamo il fascio centrato in

dopodiché determiniamo in modo che sia parallela a

In definitiva, l'equazione della retta passante per è

Per costruzione, è il punto di intersezione tra le rette ed , per cui è l'unica soluzione del sistema

r_(AB) ∩ s_(BC) : y = (1)/(4)x-(9)/(4) ; y = x-6

che si può scrivere in maniera equivalente come

x-4y-9 = 0 ; y = x-6

Procedendo con il metodo di sostituzione, scopriamo che le coordinate di sono:

Area del parallelogramma

L'area del parallelogramma è data dal prodotto tra la lunghezza di una base per quella dell'altezza relativa. Fissiamo come base il lato di estremi e e calcoliamone la lunghezza con la formula della distanza tra punti

base = CD = √((x_(C)-x_(D))^2+(y_(C)-y_(D))^2) = √((7-3)^2+(1-0)^2) = √(17)

La lunghezza dell'altezza relativa al lato coincide con la distanza tra la retta e : si ricava quindi con la formula della distanza di un punto da una retta

dove sono le coordinate di , mentre sono i coefficienti della retta espressa in forma implicita, ossia

Sostituendoli nella formula troviamo

Disponiamo finalmente di tutti gli elementi per calcolare l'area del parallelogramma

Area = base·altezza = √(17)·(6)/(√(17)) = 6

Abbiamo finito!