Piano contenente una curva parametrica

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Come si verifica che una curva parametrica giace in un piano, e come si trova in generale il piano contenente una curva data in forma parametrica? Grazie...

Domanda di peppone19

 
Soluzioni

  • Ciao peppone13 provo a rispondere xD

    Risposta di Ifrit

  • Innanzitutto non è detto che una curva sia piana, cioè giacente su un piano. Prova a prendere ad esempio un elica, nessun piano riuscirà a contenerla, essa si dirà gobba, proprio perché nessun piano la contiene.

    Supponiamo ora d'avere una curva definita da:

    γ (t) = x(t) ; y(t) ; z(t) ∀ t∈ I

    con I intervallo qualsiasi.

    E supponiamo che sia piana, cioè esiste un piano di equazione:

    P: ax+by+cz+d = 0

    tale che ∀ t∈ I

    a x(t)+by(t)+c z(t)+d = 0 heartsuit

    In sostanza dovrai sostituire tutte le componenti della curva, nell'equazione generica del piano, otterrai un sistema dipendente da a, b, c, d. Avrai anche il parametro t, ma non ci devi fare caso, visto che la relazione heartsuit deve avalere per ogni t. 

    Trovando i parametri a, b, c, d hai trovato il piano. Questo è uno dei possibili metodi.

    Risposta di Ifrit

  • ecco bene ma come mi trovo i parametri a, b, c e d?

     

    Risposta di peppone19

  • Risolvendo il sistema. Facciamo un esempio:

    γ(t) = (t, 1+(1)/(t),-t+(1)/(t)) t∈ [1, 5]

    In tal caso:

    x(t) = t

    y(t) = 1+(1)/(t)

    z(t) = -t+(1)/(t)

    Andiamo alla ricerca di un piano

    ax+by+cz+d = 0

    tale che:

    a x(t)+b y(t)+c z(t)+d = 0 ∀ t∈ [1, 5]

    Sostituisci

    at+b (1+(1)/(t))+c (-t+(1)/(t))+d = 0

    Facendo i conti e raccogliendo parzialmente:

    (a-c)t+(b+d)+(b+c)/(t) = 0

    ricordando che deve valere per ogni t, la precedente uguaglianza è vera se sono zero i coefficienti:

    a-c = 0 ; b+d = 0 ; b+c = 0

    Risolvi il sistema e hai determinato i parametri che definiscono il piano :P

    Risposta di Ifrit

  • Grazie 1000!

    Risposta di peppone19
 
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