Soluzioni
  • Ciao White arrivo :D Ti chiedo solo un po' di pazienza :P

    Risposta di Ifrit
  • Scusami per il ritardo, ho avuto problemi con un'altra domanda.

    \int \cos^2(x)dx

    E' utile procedere con la formula di integrazione per parti, ma scegliendo come fattore finito f(x)= \cos(x) e come fattore differenziale g'(x)= \cos(x)

    Il trucco è vedere la funzione integranda \cos^2(x)= \cos(x)\cdot\cos(x)

    Dunque:

    f(x)=\cos(x)\implies f'(x)= -\sin(x)

    g'(x)= \cos(x)\implies g(x)= \sin(x)

    Procediamo :

    \int\cos^2(x)dx= \cos(x) \sin(x)-\int -\sin^2(x)dx=

    = \cos(x)\sin(x)+\int sin^2(x)dx

    Per la relazione fondamentale della trigonometria sappiamo che:

    \sin^2(x)= 1-\cos^2(x) conseguentemente da 

    \int \cos^2(x)= \cos(x)\sin(x)+\int sin^2(x)dx

    otterremo:

    \int\cos^2(x)dx=\cos(x)\sin(x)+\int 1-\cos^2(x)dx

    Sfruttando la linearità dell'integrale:

    \int \cos^2(x)dx=\cos(x)\sin(x) +\int dx -\int \cos^2(x)dx

    Portanto al primo membro l'ultimo integrale avremo:

    2\int \cos^2(x)dx= \cos(x)\sin(x)+x

    Dividendo membro a membro per 2:

    \int \cos^2(x)dx= \frac{x+\cos(x)\sin(x)}{2}+c\quad c\in \mathbb{R}

    Finito!

    Risposta di Ifrit
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