Soluzioni
  • Ciao Shamandalie arrivo, ma dammi un po' di tempo :P

    Risposta di Ifrit
  • Comincio col dire che pui trovare le formule di duplicazione, le formule parametriche e tutte le formule per le funzioni trigonometriche nel formulario del link.

    Sappiamo che:

    \tan(\alpha)= \sqrt{2}-1\quad 0\textless \alpha\textless 90

    Di conseguenza:

    \tan^2(\alpha)= (\sqrt{2}-1)^2= 2+1-2\sqrt{2}= 3-2\sqrt{2}

    Dalle formule parametriche sappiamo che:

    \sin(2\alpha)= \frac{2\tan(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}

    di conseguenza:

    \sin(2\alpha)= \frac{2(\sqrt{2}-1)}{1+3-2sqrt{2}}=

    \sin(2\alpha)= \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2(2-\sqrt{2}}=

    = \frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}}= \frac{(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}

    Nell'ultima formula ho razioanlizzato:

    \frac{\sqrt{2}}{2}

    Per trovare il coseno utilizzeremo la relazione fondamentale:

    \sin^2(2\alpha)+\cos^2(2\alpha)=1\implies \cos^2(2\alpha)= 1-\sin^2(2\alpha)

     

    Da cui:

    \cos^2(2\alpha)= 1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2= 1-\frac{1}{2}= \frac{1}{2} 

    Dunque estraendo la radice membro a membro:

    \cos(2\alpha)= \sqrt{\frac{1}{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}

     

    La tangente invece è data dal rapporto di queste due quantità appena trovate:

    \tan(2\alpha)= \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1

    Finito

    Risposta di Ifrit
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