Esercizio sulle formule parametriche e di duplicazione

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Dovrei risolvere un esercizio di Trigonometria sulle formule parametriche. Viene assegnato il valore della tangente di un angolo e si chiede di calcolare i valori del seno, del coseno e della tangente del doppio dell'angolo.

 

Sapendo che

 

tan(α) = √(2)-1, con 0° < α < 90°

 

calcolare

 

sin(2α), cos(2α), tan(2α).

Domanda di Shamandalie

 
Soluzioni

  • Conosciamo il valore della tangente di un angolo α compreso tra 0° e 90°

    tan(α) = √(2)-1, con 0° < α < 90°

    e dobbiamo calcolare i valori del seno di 2 α, del coseno di 2 α e della tangente di 2 α.

    • Calcolo del seno di 2α

    Per calcolare il seno di 2α usiamo le formule parametriche, secondo cui

    sin(2α) = (2 tan(α))/(1+tan^2(α)) =

    sostituiamo tan(α) con il valore fornito dalla traccia dell'esercizio

    = (2(√(2)-1))/(1+(√(2)-1)^2) =

    sviluppiamo il quadrato di binomio a denominatore e svolgiamo i calcoli che ne conseguono

    = (2(√(2)-1))/(1+(2-2√(2)+1)) = (2(√(2)-1))/(4-2√(2)) =

    Raccogliamo totalmente un 2 a denominatore

    = (2(√(2)-1))/(2(2-√(2))) =

    e semplifichiamolo con il fattore 2 del numeratore

    = (√(2)-1)/(2-√(2)) =

    Razionalizziamo moltiplicando numeratore e denominatore per 2+√(2)

    = (√(2)-1)/(2-√(2))·(2+√(2))/(2+√(2)) = (2√(2)+2-2-√(2))/(4-2) = (√(2))/(2)

    In definitiva

    sin(2α) = (√(2))/(2)

    • Calcolo del coseno di 2α

    Per calcolare il valore del coseno di 2 α conviene usare la relazione fondamentale della Trigonometria

    sin^2(2α)+cos^2(2α) = 1

    Esplicitiamola in favore del coseno

    cos^2(2α) = 1-sin^2(2α) =

    e sostituiamo sin(2α) con il valore calcolato precedentemente

    = 1-((√(2))/(2))^2 =

    calcoliamo il quadrato e svolgiamo i calcoli

    1-(2)/(4) = 1-(1)/(2) = (1)/(2)

    In definitiva

    cos^2(2α) = (1)/(2)

    e poiché 0° < α < 90°, abbiamo

    cos(2α) = +√((1)/(2)) = (1)/(√(2)) = (√(2))/(2)

    • Calcolo della tangente di 2α

    Per concludere calcoliamo il valore della tangente di 2 α come rapporto tra i valori di seno e coseno dello stesso angolo:

    tan(2α) = (sin(2α))/(cos(2α)) = ((√(2))/(2))/((√(2))/(2)) = 1

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
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