Soluzioni
  • Prima di entrare nel vivo dello svolgimento dell'esercizio ricordiamo la definizione di nucleo di un'applicazione lineare e quella di funzione iniettiva, che permetteranno di scegliere l'alternativa corretta ragionando per esclusione.

    Siano V,W spazi vettoriali definiti su un campo K e F:V → W un'applicazione lineare.

    Si dice nucleo di F, e si indica con Ker(F), il sottospazio vettoriale del dominio formato dai vettori di V la cui immagine mediante F è lo zero di W

    Ker(F) = v ∈ V | F(v) = 0

    Per quanto concerne l'iniettività ricordiamo invece che F è iniettiva se e solo, per definizione, elementi distinti di V hanno immagini distinte o, equivalentemente, se a immagini uguali corrispondono preimmagini uguali.

    Alla luce di queste premesse scegliamo quale, tra le seguenti alternative di risposta, esprime la corretta relazione tra il nucleo e l'iniettività di un'applicazione lineare.

    a) Un'applicazione lineare F:V → W è iniettiva se e solo se Ker(F) = V

    b) Un'applicazione lineare F:V → W è iniettiva se e solo se Ker(F) = W

    c) Un'applicazione lineare F:V → W è iniettiva se e solo se Ker(F) = 0

    Analizziamo l'alternativa a).

    Se fosse Ker(F) = V vorrebbe dire che ogni elemento di V avrebbe come immagine mediante la F lo zero di W, cosicché F non potrebbe essere iniettiva. Elementi distinti di V avrebbero, infatti, la stessa immagine, data dallo zero del codominio.

    L'alternativa b) è ovviamente errata, tant'è vero che il nucleo è un sottospazio, e quindi un sottoinsieme, del dominio dell'applicazione.

    Ragionando per esclusione possiamo allora asserire che la risposta esatta è la c), ma per averne la certezza assoluta dimostriamola.

    Supponiamo che F sia iniettiva e proviamo che Ker(F) = 0, ossia che l'unico elemento del nucleo è lo zero di W.

    Sia v ∈ Ker(F). Dalla definizione di nucleo si ha che

    F(v) = 0

    Inoltre, ogni applicazione lineare manda lo zero nello zero, ossia

    F(0) = 0

    Per ipotesi, F è iniettiva, dunque a immagini uguali corrispondono preimmagini uguali.

    I vettori v e 0 hanno la stessa immagine, pertanto devono essere uguali

    v = 0

    La generalità con cui è stato scelto il vettore v permette di concludere che il nucleo di F è costituito dal solo vettore nullo.

    Viceversa, supponiamo che Ker(F) = 0 e dimostriamo che F è iniettiva.

    Consideriamo due vettori v_1,v_2 ∈ V tali che abbiano la stessa immagine

    F(v_1) = F(v_2)

    Se v_1 = v_2 abbiamo la tesi.

    Riprendiamo l'uguaglianza

    F(v_1) = F(v_2)

    e portiamo F(v_2) a primo membro

    F(v_1)-F(v_2) = 0

    Per la linearità dell'applicazione F la differenza delle immagini è uguale all'immagine della differenza, dunque

    F(v_1-v_2) = 0

    Da questa uguaglianza segue che il vettore v_1-v_2 appartiene al nucleo di F che, per ipotesi, è formato dal solo vettore nullo, pertanto

    v_1-v_2 = 0

    e quindi

    v_1 = v_2

    Ciò prova l'iniettività di F e conclude l'esercizio.

    Risposta di Galois
 
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