Relazione tra iniettività e nucleo, esercizio

Prima di entrare nel vivo dello svolgimento dell'esercizio ricordiamo la definizione di nucleo di un'applicazione lineare e quella di funzione iniettiva, che permetteranno di scegliere l'alternativa corretta ragionando per esclusione.

Siano spazi vettoriali definiti su un campo e un'applicazione lineare.

Si dice nucleo di , e si indica con , il sottospazio vettoriale del dominio formato dai vettori di la cui immagine mediante è lo zero di

Per quanto concerne l'iniettività ricordiamo invece che è iniettiva se e solo, per definizione, elementi distinti di hanno immagini distinte o, equivalentemente, se a immagini uguali corrispondono preimmagini uguali.

Alla luce di queste premesse scegliamo quale, tra le seguenti alternative di risposta, esprime la corretta relazione tra il nucleo e l'iniettività di un'applicazione lineare.

a) Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se

b) Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se

c) Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se

Analizziamo l'alternativa a).

Se fosse vorrebbe dire che ogni elemento di avrebbe come immagine mediante la lo zero di , cosicché non potrebbe essere iniettiva. Elementi distinti di avrebbero, infatti, la stessa immagine, data dallo zero del codominio.

L'alternativa b) è ovviamente errata, tant'è vero che il nucleo è un sottospazio, e quindi un sottoinsieme, del dominio dell'applicazione.

Ragionando per esclusione possiamo allora asserire che la risposta esatta è la c), ma per averne la certezza assoluta dimostriamola.

Supponiamo che sia iniettiva e proviamo che , ossia che l'unico elemento del nucleo è lo zero di .

Sia . Dalla definizione di nucleo si ha che

Inoltre, ogni applicazione lineare manda lo zero nello zero, ossia

Per ipotesi, è iniettiva, dunque a immagini uguali corrispondono preimmagini uguali.

I vettori e hanno la stessa immagine, pertanto devono essere uguali

La generalità con cui è stato scelto il vettore permette di concludere che il nucleo di è costituito dal solo vettore nullo.

Viceversa, supponiamo che e dimostriamo che è iniettiva.

Consideriamo due vettori tali che abbiano la stessa immagine

Se abbiamo la tesi.

Riprendiamo l'uguaglianza

e portiamo a primo membro

Per la linearità dell'applicazione la differenza delle immagini è uguale all'immagine della differenza, dunque

Da questa uguaglianza segue che il vettore appartiene al nucleo di che, per ipotesi, è formato dal solo vettore nullo, pertanto

e quindi

Ciò prova l'iniettività di e conclude l'esercizio.