Soluzioni
  • Ciao Faraday, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Eccoci: per mostrare che un'applicazione lineare T:V\to W definita su uno spazio vettoriale V su un campo \mathbb{K} devi, come giustamente fai notare, controllare il nucleo dell'applicazione stessa, che è un sottospazio vettoriale di V:

    Ker(T)\subseteq V

    Per definizione, il nucleo di T è l'insieme dei vettori v di V tali che

    Tv=0

    dunque, per determinare il nucleo, puoi preventivamente determinare la matrice associata all'applicazione lineare T rispetto ad una qualche base di V (chiamiamo tale matrice A) e risolvere il sistema lineare omogeneo

    Av=0

    lo spazio delle soluzioni è proprio il nucleo dell'applicazione lineare.

    A questo punto, se il nucleo dell'applicazione lineare è banale, cioè contiene solamente il vettore nullo 0, allora l'applicazione lineare è iniettiva (e viceversa). In caso contrario, l'applicazione T non è iniettiva.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ok Ifrit, però da dove nasce la definizione di iniettività. Sapresti darmi la dimostrazione della definizione?

    Risposta di faraday
  • Aspetta, aspetta, credo che tu mi stia scambiando per un Matematico ben più valoroso e valente di me Laughing io sono \Omega!

    Al di là di questo, occhio a non fare confusione: una definizione non si dimostra, una definizione la si dà e basta. La definizione di cui parliamo è la definizione di inettività:

    T si dice iniettiva se T(v_1)=T(v_2) implica che v_1=v_2.

    Il teorema che vogliamo provare è il seguente:

    "Un'applicazione lineare T è iniettiva se e solo se Ker(T)=\{0\}".

    Dimostriamo questo risultato:

    per provare che se Ker(T)=\{0\} allora T è iniettiva, prendiamo due vettori v_1,v_2 tali che T(v_1)=T(v_2). Per linearità abbiamo che

    T(v_1-v_2)=0

    e quindi v_1-v_2\in Ker(T). Ma Ker(T)=\{0\}, quindi necessariamente

    v_1-v_2=0

    e quindi

    v_1=v_2

    dunque T è iniettiva.

    Per provare il viceversa, cioè che se T è iniettiva allora Ker(T)=\{0\}, è sufficiente ragionare al contrario nella precedente dimostrazione, suppnendo inizialmente che v\in Ker(T), Da qui segue che T(v)=0 per definizione di nucleo.

    D'altra parte T(0)=0, e quindi per iniettività v=0, ossia: il nucleo è costituito dal solo vettore nullo.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Omega!!! LaughingLaughing

    intendevo proprio questo :) grazie mille!

    Risposta di faraday
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