Come risolvere una disequazione irrazionale

Buongiorno mi servirebbe una mano per una disequazione fratta che non capisco come si debba risolvere. Ve la scrivo e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto che mi darete:

sqrt(x^2-8x+15) >= x-2

Il risultato è x <= 11/4, grazie mille!

In Superiori - Algebra - Domanda di Nello

Soluzioni

Ciao Nello arrivo :D

Risposta di Ifrit
$\sqrt{x^2-8x+15}\ge x-2$

La disequazione irrazionale si presenta nella forma:

$\sqrt{f(x)}\ge g(x)$

ed equivale all'unione dei sistemi:

$\begin{cases}f(x)\ge 0\\ f(x)\ge g^2(x) \\ g(x)\ge 0\end{cases}\vee \begin{cases}f(x)\ge 0\\ g(x)\textless 0\end{cases}$

Importante: leggi la lezione sulle disequazioni irrazionali!

Dobbiamo risolvere il primo e il secondo sistema e poi unire le soluzioni:

Iniziamo, nel nostro caso il primo sistema è:

$\begin{cases}x^2-8x+15\ge 0\\ x^2-8x+15\ge (x-2)^2\\ x-2\ge 0\end{cases}$

Risolviamo la prima disequazione:

$x^2-8x+15\ge 0$

$\Delta= 64-60=4>0\implies \sqrt{\Delta}=2$

$x_1= \frac{8-2}{2}= 3$

$x_2=\frac{8+2}{2}=5$

Le soluzioni sono esterne, dunque:

$x^2-8x+15\ge 0\iff x\le 3\vee x\ge 5\qquad (1)$

Risolviamo la seconda:

$x^2-8x+15\ge x^2-4x+4$

$-4x\ge -11$

$x\le \frac{11}{4}\qquad (2)$

Dalla terza disequazione abbiamo che:

$x-2\ge 0\iff x\ge 2\qquad (3)$

Intersechiamo le tre soluzioni:

(1) .____(2)________________________3 .......................... 5 _____________________

(2) ____(2)__________(11/4).................3 .................................................................

(3)........(2)________________________________________________________________

(i).........(2)__________(11/4).........................................

L'intesezione è $S_1=\left\{2\le x\le \frac{11}{4}\right\}$

Adesso consideriamo il secondo sistema:

$\begin{cases}x^2-8x+15\ge 0\\x-2\textless 0\end{cases}$

La prima siequazione l'abbiamo risolta prima, l'insieme soluzione è:

$x\le 3\vee x\ge 5 \qquad (a)$

La seconda è facile:

$x-2\textless 0\implies x\textless 2\qquad (b )$

Tabuliamo gli insiemi

(a ) __________________3................5________________

(b )_________(2)............................................................

(i)__________(2)............................................................

La soluzione $S_2 = \{x\textless 2\}$

A questo punto uniamo e

S1: ...................(2)_________(11/4)....................

S2:____________(2)..........................................

U: _______________________(11/4)

L'insieme soluzione è quindi:

$S=x\le \frac{11}{4}$ .

Risposta di Ifrit