Soluzioni
  • Ciao Nello arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • \sqrt{x^2-8x+15}\ge x-2

    La disequazione irrazionale si presenta nella forma:

    \sqrt{f(x)}\ge g(x)

    ed equivale all'unione dei sistemi:

    \begin{cases}f(x)\ge 0\\ f(x)\ge g^2(x) \\ g(x)\ge 0\end{cases}\vee \begin{cases}f(x)\ge 0\\ g(x)\textless 0\end{cases}

    Importante: leggi la lezione sulle disequazioni irrazionali!

    Dobbiamo risolvere il primo e il secondo sistema  e poi unire le soluzioni:

    Iniziamo, nel nostro caso il primo sistema è:

    \begin{cases}x^2-8x+15\ge 0\\ x^2-8x+15\ge (x-2)^2\\ x-2\ge 0\end{cases}

    Risolviamo la prima disequazione:

    x^2-8x+15\ge 0

    \Delta= 64-60=4>0\implies \sqrt{\Delta}=2

    x_1= \frac{8-2}{2}= 3

    x_2=\frac{8+2}{2}=5

    Le soluzioni sono esterne, dunque:

    x^2-8x+15\ge 0\iff x\le 3\vee x\ge 5\qquad (1)

    Risolviamo la seconda:

    x^2-8x+15\ge x^2-4x+4

    -4x\ge -11

    x\le \frac{11}{4}\qquad (2)

    Dalla terza disequazione abbiamo che:

    x-2\ge 0\iff x\ge 2\qquad (3)

     

    Intersechiamo le tre soluzioni:

    (1) .____(2)________________________3 .......................... 5 _____________________

    (2) ____(2)__________(11/4).................3 .................................................................

    (3)........(2)________________________________________________________________

    (i).........(2)__________(11/4).........................................

    L'intesezione è S_1=\left\{2\le x\le \frac{11}{4}\right\}

    Adesso consideriamo il secondo sistema:

    \begin{cases}x^2-8x+15\ge 0\\x-2\textless 0\end{cases}

     

    La prima siequazione l'abbiamo risolta prima, l'insieme soluzione è:

    x\le 3\vee x\ge 5 \qquad (a) 

    La seconda è facile:

    x-2\textless 0\implies x\textless 2\qquad (b )

     

    Tabuliamo gli insiemi

    (a ) __________________3................5________________

    (b )_________(2)............................................................

    (i)__________(2)............................................................

     

    La soluzione S_2 = \{x\textless 2\}

    A questo punto uniamo S_1 e S_2

    S1: ...................(2)_________(11/4)....................

    S2:____________(2)..........................................

    U: _______________________(11/4)

     

    L'insieme soluzione è quindi:

    S=x\le \frac{11}{4}.

    Risposta di Ifrit
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