Come risolvere una disequazione irrazionale

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Buongiorno mi servirebbe una mano per una disequazione fratta che non capisco come si debba risolvere. Ve la scrivo e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto che mi darete:

 

sqrt(x^2-8x+15) >= x-2

 

Il risultato è x <= 11/4, grazie mille!

Domanda di Nello

 
Soluzioni

  • Ciao Nello arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • √(x^2-8x+15) ≥ x-2

    La disequazione irrazionale si presenta nella forma:

    √(f(x)) ≥ g(x)

    ed equivale all'unione dei sistemi:

    f(x) ≥ 0 ; f(x) ≥ g^2(x) ; g(x) ≥ 0 ∨ f(x) ≥ 0 ; g(x) < 0

    Importante: leggi la lezione sulle disequazioni irrazionali!

    Dobbiamo risolvere il primo e il secondo sistema  e poi unire le soluzioni:

    Iniziamo, nel nostro caso il primo sistema è:

    x^2-8x+15 ≥ 0 ; x^2-8x+15 ≥ (x-2)^2 ; x-2 ≥ 0

    Risolviamo la prima disequazione:

    x^2-8x+15 ≥ 0

    Δ = 64-60 = 4 > 0 ⇒ √(Δ) = 2

    x_1 = (8-2)/(2) = 3

    x_2 = (8+2)/(2) = 5

    Le soluzioni sono esterne, dunque:

    x^2-8x+15 ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 ∨ x ≥ 5 qquad (1)

    Risolviamo la seconda:

    x^2-8x+15 ≥ x^2-4x+4

    -4x ≥ -11

    x ≤ (11)/(4) qquad (2)

    Dalla terza disequazione abbiamo che:

    x-2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 qquad (3)

     

    Intersechiamo le tre soluzioni:

    (1) .____(2)________________________3 .......................... 5 _____________________

    (2) ____(2)__________(11/4).................3 .................................................................

    (3)........(2)________________________________________________________________

    (i).........(2)__________(11/4).........................................

    L'intesezione è S_1 = 2 ≤ x ≤ (11)/(4)

    Adesso consideriamo il secondo sistema:

    x^2-8x+15 ≥ 0 ; x-2 < 0

     

    La prima siequazione l'abbiamo risolta prima, l'insieme soluzione è:

    x ≤ 3 ∨ x ≥ 5 qquad (a) 

    La seconda è facile:

    x-2 < 0 ⇒ x < 2 qquad (b)

     

    Tabuliamo gli insiemi

    (a ) __________________3................5________________

    (b )_________(2)............................................................

    (i)__________(2)............................................................

     

    La soluzione S_2 = x < 2

    A questo punto uniamo S_1 e S_2

    S1: ...................(2)_________(11/4)....................

    S2:____________(2)..........................................

    U: _______________________(11/4)

     

    L'insieme soluzione è quindi:

    S = x ≤ (11)/(4).

    Risposta di Ifrit
 
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