Soluzioni
  • Ciao Latorre7, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Eccoci: per calcolare l'integrale

    \int{\frac{1+\sqrt{x}}{x(1+\sqrt[3]{x})}dx}

    è corretto procedere con l'integrazione per sostituzione ponendo x=t^6, da cui si ricava come differenziale dx=6t^5dt e dunque l'integrale diventa

    6\int{\frac{1+t^3}{t(1+t^2)}dt}

    ossia

    6\int{\frac{1+t^3}{t+t^3)}dt}

    a questo punto conviene procedere con un piccolo trucco algebrico e sommare e sottrarre a numeratore t:

    6\int{\frac{1-t+t+t^3}{t+t^3)}dt}

    in questo modo possiamo spezzare l'integrale nella somma di due integrali

    6\left[\int{\frac{1-t}{t+t^3)}dt}+\int{1dt}\right]

    avendo spezzato l'integranda nella somma di due frazioni. L'integrale del secondo addendo è banale (primitiva t)

    Consideriamo solamente

    \int{\frac{1-t}{t+t^3)}dt}

    Sommiamo e sottraiamo t^2 a numeratore

    \int{\frac{1+t^2-t^2-t}{t+t^3)}dt}

    e spezziamo nuovamente l'integrale

    \int{\frac{1+t^2}{t+t^3}-\frac{t^2+t}{t+t^3}dt}

    ossia

    \int{\frac{1}{t}-\frac{t+1}{1+t^2}dt}

    L'integrale del primo addendo è banale (logaritmo).

    Poi limitiamoci a considerare

    \int{\frac{t+1}{1+t^2}dt}

    giunti qui, spezziamo l'integrale nella somma

    \int{\frac{t}{1+t^2}dt}+\int{\frac{1}{1+t^2}dt}

    dove il primo integrale è un logaritmo, il secondo un'arcotangente.

    Lascio a te l'infausto compito di ricomporre tutti i calcoli...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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