Integrale con radici da risolvere per sostituzione

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Come calcolo questo integrale indefinito per sostituzione? L'integranda è un rapporto con delle radici ed è in particolare:

 

Integrale: ∫(1+√(x))/(x(1+[3]√(x)))dx ?

 

Avevo pensato di risolverlo con la sostituzione di x = t^6, ma arrivato alla funzione razionale che trovo mi blocco, come fare? E' corretta la sostituzione? GRAZIE!

Domanda di latorre7

 
Soluzioni

  • Ciao Latorre7, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Eccoci: per calcolare l'integrale

    ∫(1+√(x))/(x(1+[3]√(x)))dx

    è corretto procedere con l'integrazione per sostituzione ponendo x = t^6, da cui si ricava come differenziale dx = 6t^5dt e dunque l'integrale diventa

    6∫(1+t^3)/(t(1+t^2))dt

    ossia

    6∫(1+t^3)/(t+t^3))dt

    a questo punto conviene procedere con un piccolo trucco algebrico e sommare e sottrarre a numeratore t:

    6∫(1-t+t+t^3)/(t+t^3))dt

    in questo modo possiamo spezzare l'integrale nella somma di due integrali

    6[∫(1-t)/(t+t^3))dt+∫1dt]

    avendo spezzato l'integranda nella somma di due frazioni. L'integrale del secondo addendo è banale (primitiva t)

    Consideriamo solamente

    ∫(1-t)/(t+t^3))dt

    Sommiamo e sottraiamo t^2 a numeratore

    ∫(1+t^2-t^2-t)/(t+t^3))dt

    e spezziamo nuovamente l'integrale

    ∫(1+t^2)/(t+t^3)-(t^2+t)/(t+t^3)dt

    ossia

    ∫(1)/(t)-(t+1)/(1+t^2)dt

    L'integrale del primo addendo è banale (logaritmo).

    Poi limitiamoci a considerare

    ∫(t+1)/(1+t^2)dt

    giunti qui, spezziamo l'integrale nella somma

    ∫(t)/(1+t^2)dt+∫(1)/(1+t^2)dt

    dove il primo integrale è un logaritmo, il secondo un'arcotangente.

    Lascio a te l'infausto compito di ricomporre tutti i calcoli...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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