Dimostrare che il nucleo è un sottospazio vettoriale del dominio
Come si dimostra che il nucleo di un'applicazione lineare è un sottospazio vettoriale del dominio? Nella prova in itinere di Algebra Lineare c'era un esercizio teorico che chiedeva, appunto, di dimostrare che il nucleo è un sottospazio dello spazio di partenza. Vi riporto la traccia esatta.
Siano 
due spazi vettoriali e 
un'applicazione lineare. Dimostrare che 
è un sottospazio vettoriale di 
.
Dati due spazi vettoriali
definiti su un campo 
e detta un'applicazione lineare, dobbiamo dimostrare che è un sottospazio vettoriale di .Il nucleo dell'applicazione
è formato dai vettori di la cui immagine mediante è lo zero di 
, ossia è il sottoinsieme di così definito
Per dimostrare che è un sottospazio vettoriale di
dobbiamo mostrare che per ogni 
e per ogni 
risulta che
Siano, allora,
e . Per definizione di nucleo abbiamo che
e per avere la tesi occorre provare che
Procediamo!
per la linearità dell'applicazione
In definitiva
cosicché
e ciò conclude la dimostrazione.
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