Soluzioni
  • Dati due spazi vettoriali V, W definiti su un campo \mathbb{K} e detta F:V \to W un'applicazione lineare, dobbiamo dimostrare che \mbox{Ker}(F) è un sottospazio vettoriale di V.

    Il nucleo dell'applicazione F è formato dai vettori di V la cui immagine mediante F è lo zero di W, ossia \mbox{Ker}(F) è il sottoinsieme di V così definito

    \mbox{Ker}(F)=\{\mathbf{v}\in V \ | \ F(\mathbf{v})=\mathbf{0}\}

    Per dimostrare che è un sottospazio vettoriale di V dobbiamo mostrare che per ogni \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in \mbox{Ker}(F) e per ogni \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K} risulta che

    \lambda_1 \mathbf{v}_1+ \lambda_2 \mathbf{v}_2 \in \mbox{Ker}(F)

    Siano, allora, \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in \mbox{Ker}(F) e \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{K}. Per definizione di nucleo abbiamo che

    F(\mathbf{v}_1)=F(\mathbf{v}_2)=\mathbf{0}

    e per avere la tesi occorre provare che

    F(\lambda_1 \mathbf{v}_1+ \lambda_2 \mathbf{v}_2)=\mathbf{0}

    Procediamo!

    F(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2 \mathbf{v}_2)=

    per la linearità dell'applicazione F

    \\ =\lambda_1 F(\mathbf{v}_1)+\lambda_2F(\mathbf{v}_2)=\lambda_1\mathbf{0}+\lambda_2\mathbf{0}=\\ \\ =\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}

    In definitiva

    F(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2)=\mathbf{0}

    cosicché

    (\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2)\in \mbox{Ker}(F)

    e ciò conclude la dimostrazione.

    Risposta di Ifrit
 
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