Derivata seconda di una funzione a piu variabili

Ciao, in un esercizio devo calcolare la derivata seconda di una funzione definita mediante una funzione a più variabili: qual'è la derivata seconda di f(x,y(x))?

Dovrebbe essere f''=fxx+fxy+2*f*fxy+f*fy^2+f^2*fyy

(fx derivata parziale di f secondo x ecc...) ma non capisco come ci si arriva...

Grazie in anticipo!

Domanda di Andrea
Soluzioni

Ciao Andrea, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Dunque, ho provato ad effettuare il calcolo, ma onestamente non mi trovo con il risultato che hai postato. Probabilmente perché non riesco ad interpretarlo: puoi riscriverlo in una forma un po' più "ampia"?

Namasté!

Risposta di Omega

scusa, ho dimenticato una cosa fondamentale... è un esercizio di calcolo differenziale ed è y'=f(x,y(x))

allora se non sbaglio la derivata prima di f(x,y(x)) è la somma delle derivate parziali che indico con fx e fy, poichè la variabile y dipende da x allora ne devo tenere conto e quindi dovrebbe venire

f'(x,y(x))= fx + fy * y' = fx + fy * f

a questo punto devo derivare di nuovo, però non saprei come fare... è ancora la somma delle derivate parziali? io ho provato a derivare tutto prima secondo x e poi secondo y, però non mi viene il risultato del libro che è

f''(x,y(x))=fxx+fxy+2*f*fxy+f*fy^2+f^2*fyy

ora è un po' piu chiaro? 

Risposta di Andrea

Ecco perché non mi trovavo Laughing

Ragioniamo così: deriviamo la funzione f(x,y(x)), quindi otteniamo

(d)/(dx)f(x,y(x)) = f_(x)(x,y(x))+f_y(x,y(x))y'(x)

poi, deriviamo nuovamente rispetto a x: dobbiamo fare solo attenzione a usare la regola di derivazione del prodotto di funzioni e la regola di derivazione della funzione composta

(d^2)/(dx^2)f(x,y(x)) = f_(xx)(x,y(x))+f_(xy)(x,y(x))y'(x)+f_(yx)(x,y(x))y'(x)+f_(yy)(x,y(x))y'(x)+f_y(x,y(x))y''(x)

Così dovrebbe tornare, dopo aver effettuato le varie sostituzioni.

Namasté!

Risposta di Omega

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