Funzione continua e derivabile due volte che si annulla in 3 punti

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Salve! Più volte mi è capitato di incontrare quesiti con funzioni continue e derivabili 2 volte che si annullavano in un certo numero di punti, del tipo:

 

Sia data una funzione f: R -> R, continua e derivabile 2 volte con f(-20)=0, f(10)=0, f(25)=0. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

 

a) f(x) ha almeno 3 punti di stazionarietà

 

b) f(x) ha esattamente un punto di massimo relativo e un punto di minimo relativo

 

c) la funzione senh(x) non ha punti di stazionarietà

 

d) la funzione cosh(x) non ha zeri

 

e) esiste almeno uno zero della derivata seconda di f.

 

La risposta corretta è la e. Qualcuno è in grado di spiegarmi in base a quale criterio si risolvono esercizi del genere? Grazie anticipatamente.

Domanda di penelope

 
Soluzioni

  • Ciao penelope arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Per rispondere a questi quesiti (sono veramente crudeli a volte) bisogna costruirsi dei controesempi.

    a) La prima è falsa, potresti considerare ad esempio la cubica:

    f(x) = (x+20)(x-10)(x-25)

    Essa ha solo due punti stazionari (punti per i quali la derivata prima si annulla).

     

    b) Anche qui è utile costruire un controesempio, anche disegnando una funzione. Considera una funzione che si annulla nei punti in questione, dopodiché puoi sbizzarrirti con quanti punti di massimo o di minimo vuoi.

    Un esempio:

    f(x) = (x+20)(x-10)(x-25)(x+2)

    Ha due punti di massimo relativo e un punto di minimo relativo.

     

    c) Questa domanda sembra essere scollegata con il testo

     

    d) Idem come sopra

     

    e) Teorema di Rolle (click per la relativa guida)

    f è continua in [-20, 10] è derivabile nell'intervallo aperto (-20, 10), inoltre f(-20) = f(10)

    quindi esiste un punto x_0∈ (-20, 10) tale che:

    f'(x_0) = 0

    Inoltre:

    f è continua in [10, 25] e derivabile in (10, 25),

    f(10) = f(25)

    per il teorema di Rolle abbiamo che esiste x_1∈(10, 25) tale che:

    f'(x_1) = 0 

    A questo punto lavoriamo nell'intervallo [x_0, x_1] e con la funzione f'(x).

    Essa è continua in [x_0, x_1], è derivabile in (x_0, x_1) , inoltre

    f'(x_0) = 0 = f'(x_1)

    Per il teorema di Rolle esiste x_2∈(x_0, x_1) tale che:

    f''(x_2) = 0

    Quindi abbiamo trovato (almeno) un elemento x_2 che annulla la derivata seconda :)

     

    Spero sia chiaro

    Risposta di Ifrit

  • grazie mille,sei stato chiarissimo. non avevo pensato assolutamente all'applicazione del teorema di rolle.

    Risposta di penelope
 
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