Soluzioni
  • Ciao penelope arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Per rispondere a questi quesiti (sono veramente crudeli a volte) bisogna costruirsi dei controesempi.

    a) La prima è falsa, potresti considerare ad esempio la cubica:

    f(x)=(x+20)(x-10)(x-25)

    Essa ha solo due punti stazionari (punti per i quali la derivata prima si annulla).

     

    b) Anche qui è utile costruire un controesempio, anche disegnando una funzione. Considera una funzione che si annulla nei punti in questione, dopodiché puoi sbizzarrirti con quanti punti di massimo o di minimo vuoi.

    Un esempio:

    f(x)=(x+20)(x-10)(x-25)(x+2)

    Ha due punti di massimo relativo e un punto di minimo relativo.

     

    c) Questa domanda sembra essere scollegata con il testo

     

    d) Idem come sopra

     

    e) Teorema di Rolle (click per la relativa guida)

    f è continua in [-20, 10] è derivabile nell'intervallo aperto (-20, 10), inoltre f(-20)=f(10)

    quindi esiste un punto x_0\in (-20, 10) tale che:

    f'(x_0)=0

    Inoltre:

    f è continua in [10, 25] e derivabile in (10, 25),

    f(10)=f(25)

    per il teorema di Rolle abbiamo che esiste x_1\in(10, 25) tale che:

    f'(x_1)=0 

    A questo punto lavoriamo nell'intervallo [x_0, x_1] e con la funzione f'(x).

    Essa è continua in [x_0, x_1], è derivabile in (x_0, x_1) , inoltre

    f'(x_0)=0=f'(x_1)

    Per il teorema di Rolle esiste x_2\in(x_0, x_1) tale che:

    f''(x_2)=0

    Quindi abbiamo trovato (almeno) un elemento x_2 che annulla la derivata seconda :)

     

    Spero sia chiaro

    Risposta di Ifrit
  • grazie mille,sei stato chiarissimo. non avevo pensato assolutamente all'applicazione del teorema di rolle.

    Risposta di penelope
 
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