Limite fratto con arcotangente e logaritmo del coseno

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Mi è capitato il limite di un prodotto tra il reciproco della funzione arcotangente e una funzione logaritmica che genera una forma di indecisione infinito per 0.

 

lim_(x → 0)[(1)/(arctan(x^2))]log(cos(x))

 

Non so come procedere anche se il libro suggerisce di ricondursi ai limiti notevoli.

Domanda di diabolik

 
Soluzioni

  • Il limite

    lim_(x → 0)[(1)/(arctan(x^2))]log(cos(x)) = (•)

    genera una forma indeterminata del tipo [∞·0] che possiamo risolvere facendo ricorso al limite notevole dell'arcotangente

    lim_(h(x) → 0)(arctan(h(x)))/(h(x)) =

    Grazie ad esso possiamo esprimere la relazione asintotica

    arctan(h(x)) ~ _(h(x) → 0)h(x)

    con cui il limite diventa

    (•) = lim_(x → 0)(1)/(x^2)·log(cos(x)) =

    Facciamo uso di un piccolo trucchetto algebrico con cui ricondurci al limite notevole del logaritmo: sommiamo e sottraiamo 1 all'interno dell'argomento

    = lim_(x → 0)(1)/(x^2)·log(1+cos(x)-1) =

    In accordo con il limite notevole del logaritmo scriviamo il limite nella forma equivalente

    = lim_(x → 0)(1)/(x^2)·(cos(x)-1) =

    e raccogliendo un segno meno al numeratore giungiamo al limite notevole del coseno (a meno del segno)

    = lim_(x → 0)[-(1-cos(x))/(x^2)] = -lim_(x → 0)(1-cos(x))/(x^2) = -(1)/(2)

    Il limite di partenza vale -(1)/(2). Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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