Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos(5x))\tan(3x)}{\ln(1+x^3)}

    procediamo con le stime asintotiche derivanti dai limiti notevoli. A questo proposito puoi leggere la lezione su come usare i limiti notevoli, casomai avessi dubbi o volessi approfondire.

    Per il primo termine applichiamo il limite notevole del coseno:

    \lim_{x\to x_0}\frac{1-\cos(f(x))}{(f(x))^2}=\frac{1}{2}\ \ \ \mbox{se }f(x)\to_{x\to x_0}0

    Nel nostro caso

    f(x)=5x\to_{x\to 0}0

    e quindi possiamo avvalerci dell'equivalenza asintotica

    1-\cos(5x)\sim_{x\to 0}  \frac{(5x)^2}{2}= \frac{25x^2}{2}

    Per il secondo termine a numeratore applichiamo il limite notevole della tangente

    \lim_{x\to x_0}\frac{\tan(f(x))}{f(x)}=1\ \ \ \mbox{se }f(x)\to_{x\to x_0}0

    Anche qui abbiamo

    f(x)=3x\to_{x\to 0}0

    da cui

    \tan(3x)\sim_{x\to 0} 3x

    Infine, per il denominatore possiamo usare il limite notevole del logaritmo

    \lim_{x\to x_0}\frac{\log(1+f(x))}{f(x)}=1\ \ \ \mbox{se }f(x)\to_{x\to x_0}0

    Noi abbiamo

    f(x)=x^3\to_{x\to 0}0

    e dunque

    \ln(1+x^3)\sim_{x\to 0} x^3

    Grazie alle equivalenze asintotiche passiamo a calcolare il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{\frac{25 x^2}{2}\cdot 3x}{x^3}

    e, dalla regola per le frazioni di frazioni, ricaviamo

    \lim_{x\to 0}\frac{75 x^3}{2x^3}= \frac{75}{2}

    Fine!

    Risposta di Omega
 
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