Problema di Trigonometria con le tangenti degli angoli

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Non capisco come procedere con un problema sulle tangenti degli angoli di un triangolo in Trigonometria, avrei bisogno di un vostro aiuto..grazie!

Sapendo che i due angoli a e b di un triangolo sono acuti e sono tali che tg(a)=2 e tg(b)=3, calcolare il terzo angolo c.

Domanda di isilvia

 
Soluzioni

  • Ci servono un paio di formule goniometriche per risolvere l'esercizio:

    1) Identità fondamentale della trigonometria

    \sin^2{(x)}+\cos^{2}{(x)}=1

    2) Definizione della tangente

    \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}=\tan{(x)}

    Procediamo: dato che \tan{(a)}=2, \tan{(b)}=3 ricaviamo

    \sin{(a)}=2\cos{(a)}

    \sin{(b)}=3\cos{(b)}

    grazie alla definizione di tangente.

    Con l'identità fondamentale della trigonometria, troviamo

    \cos{(a)}=\frac{1}{\sqrt{5}}

    \cos{(b)}=\frac{1}{\sqrt{10}}

    Ora osserviamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre \pi, quindi

    c=\pi-a-b

    da cui, applicando il seno ad entrambi i membri

    \sin{(c)}=\sin{(\pi-a-b)}

    ossia

    \sin{(c)}=\sin{(a+b)}

    applichiamo la formula di sommazione degli angoli del seno. Svolgengo i calcoli, e sostituendo le espressioni dei coseni al posto dei seni, troviamo

    \sin{(c)}=5\cos{(a)}\cos{(b)}

    ossia

    \sin{(c)}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

    quindi c=\pi /4.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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