Problema di Trigonometria con le tangenti degli angoli

Question

Non capisco come procedere con un problema sulle tangenti degli angoli di un triangolo in Trigonometria, avrei bisogno di un vostro aiuto..grazie!Sapendo che i due angoli a e b di un triangolo sono acuti e sono tali che tg(a) = 2 e tg(b) = 3, calcolare il terzo angolo c.

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ci servono un paio di formule goniometriche per risolvere l'esercizio: 1) Identità fondamentale della trigonometria sin^2(x)+cos^(2)(x) = 1 2) Definizione della tangente (sin(x))/(cos(x)) = tan(x) Procediamo: dato che tan(a) = 2, tan(b) = 3 ricaviamo sin(a) = 2cos(a) sin(b) = 3cos(b) grazie alla definizione di tangente. Con l'identità fondamentale della trigonometria, troviamo cos(a) = (1)/(√(5)) cos(b) = (1)/(√(10)) Ora osserviamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre π, quindi c = π−a−b da cui, applicando il seno ad entrambi i membri sin(c) = sin(π−a−b) ossia sin(c) = sin(a+b) applichiamo la formula di sommazione degli angoli del seno. Svolgengo i calcoli, e sostituendo le espressioni dei coseni al posto dei seni, troviamo sin(c) = 5cos(a)cos(b) ossia sin(c) = (5)/(√(50)) = (1)/(√(2)) quindi c = π /4. Namasté!