Problema di Trigonometria con le tangenti degli angoli

Non capisco come procedere con un problema sulle tangenti degli angoli di un triangolo in Trigonometria, avrei bisogno di un vostro aiuto..grazie!

Sapendo che i due angoli a e b di un triangolo sono acuti e sono tali che tg(a)=2 e tg(b)=3, calcolare il terzo angolo c.

In Superiori - Geometria - Domanda di isilvia

 
Soluzioni

  • Ci servono un paio di formule goniometriche per risolvere l'esercizio:

    1) Identità fondamentale della trigonometria

    \sin^2{(x)}+\cos^{2}{(x)}=1

    2) Definizione della tangente

    \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}=\tan{(x)}

    Procediamo: dato che \tan{(a)}=2, \tan{(b)}=3 ricaviamo

    \sin{(a)}=2\cos{(a)}

    \sin{(b)}=3\cos{(b)}

    grazie alla definizione di tangente.

    Con l'identità fondamentale della trigonometria, troviamo

    \cos{(a)}=\frac{1}{\sqrt{5}}

    \cos{(b)}=\frac{1}{\sqrt{10}}

    Ora osserviamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre \pi, quindi

    c=\pi-a-b

    da cui, applicando il seno ad entrambi i membri

    \sin{(c)}=\sin{(\pi-a-b)}

    ossia

    \sin{(c)}=\sin{(a+b)}

    applichiamo la formula di sommazione degli angoli del seno. Svolgengo i calcoli, e sostituendo le espressioni dei coseni al posto dei seni, troviamo

    \sin{(c)}=5\cos{(a)}\cos{(b)}

    ossia

    \sin{(c)}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

    quindi c=\pi /4.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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