Implicazioni per una funzione continua
Ciao avrei un esercizio sulle implicazioni vere o false relative a una funzione continua. Vi ringrazio in anticipo!
Sia f:[0,1] → R una funzione continua. Dire quali implicazioni sussistono tra le seguenti affermazioni:
1) f è iniettiva
2) f non ha punti di minimo o massimo locale
3) f è strettamente monotona
4) L'immagine dell'intervallo [0,1] mediante la funzione f è contenuto nell'intervallo [0,1]
5) Il minimo di f(x) sull'intervallo [0,1] è maggiore o uguale a zero.
6) Il minimo della funzione f sull'intervallo [0,1] è un numero finito
Poi ne ho uno del tutto simile: sia inoltre f:[0,1] → R una funzione continua. Dire quali affermazioni risultano vere, giustificandone le risposte:
1) esiste c ∈ R tale che f(x) ≥ c, per ogni x ∈ [0,1]
2) esiste c ≥ 0 tale che min|f(x)| = c
3) esiste x0 ∈ [0,1] tale che f'(x0) = 0
Grazie mille!
Ciao Zanzy, un attimo di pazienza e arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Eccoci. Per quanto riguarda il primo gruppo di affermazioni...
La 1) implica la 2), come abbiamo visto in questo topic: proprietà di una funzione continua e iniettiva.
La 1) implica la 3) perché la funzione è continua oltre che iniettiva e definita su un compatto. Il viceversa è naturalmente vero.
1) non implica la 4), considera ad esempio 
definita su ![[0,1]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIgASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKimJiYnR0dJ6enhYWFra2tgQEBMzMzObm5lBQUAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAiABIAAASUEAAxiLw4a23GkN9FFEZxbBojJFkYAodwISwKLI0RnJh7CRZJx4bZtUCXQA2mICZ5F98tsLgkAgwnwNhDAq5VCVjLjXrHYioZ6g0tlJcDdn0EvMqEJr1r/xkuBS9EZW1xMhIIYQsDWRuEfZASIwQNUFd/GAwNAgEIDUtSWkFakIJEo1qhRAeNpKo2qKkSFLGkKB0DEQA7){kind=small}
1) non implica 5)
6) vale a prescindere (teorema di Weierstrass)
Poi:
2) implica 3)
2) e 4) sono completamente scorrelate
e...se ce ne fossero altre su cui hai dei dubbi, fammi sapere (alcune sono veramente banali).
Per il secondo gruppo di affermazioni:
1) Vero, perché l'immagine di un compatto mediante una funzione continua è un compatto;
2) Vero (idem come sopra)
3) Falso: come controesempio 
definita su .
Namasté!
Risposta di Omega
si :) allora abbiamo detto che la prima implica la 2 ma nel topic mi hai fatto notare che se una funzione è continua e ingettiva allora è vero che possiede un'inversa e che questa ammette massimo. Forse mi sto confondendo io con i "non ha punti di massimo e minimo locale"
per quanto riguarda il fatto che la 1) non implica la 5) c'è qualche controesempio?
Risposta di zanzy9
Attenzione: un conto è avere "un massimo" cioè un valore massimo, un conto è avere un "punto di massimo".
Per quanto riguarda 1) e 5): prendi 
definita su .
Namasté!
Risposta di Omega
ok scusami :) quindi il fatto che sia ingettiva implica che non ha punti di massimo o minimo locale giusto?
Risposta di zanzy9
That's right! Altrimenti: tanti saluti all'iniettività! 
Namasté!
Risposta di Omega
grazie mille :)
Risposta di zanzy9