Disequazione trigonometrica fratta con tangente

Ho una disequazione fratta trigonometrica che mi sta facendo dannare l'anima:

(tan^2(x)-√(3)tan(x))/(tan^2(x)-1) < 1

Mi escono soluzioni sbagliate, chiedo il vostro aiuto! Laughing

Domanda di ild0tt0re
Soluzioni

Ciao ild0tt0re arrivo :D

Risposta di Ifrit

(tan^2(x)-√(3)tan(x))/(tan^2(x)-1) < 1

Poniamo t = tan(x) (sostituzione razionalizzante)

la precedente disequazione fratta diventa:

(t^2-√(3)t)/(t^2-1) < 1

da qui segue che la disequazione ha senso quando:

t^2-1 ne 0 ⇔ t ne-1 ∨ t ne 1 (ricordalo!)

ma torniamo a noi:

(t^2-√(3)t)/(t^2-1) < 1

Portiamo tutto al primo membro:

(t^2-√(3)t)/(t^2-1)-1 < 0

mcm

(t^2-√(3)t-t^2+1)/(t^2-1) < 0

sommiamo i termini simili:

(-√(3)t+1)/(t^2-1) < 0

A questo punto studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore:

N:-√(3)t+1 > 0 ⇔ t < (1)/(√(3))

D: t^2-1 > 0 ⇔ t < -1 ∨ t > 1

Tabuliamo i segni:

N: + +  (-1) + + + + + + + + + + (1/√(3)) - - - - - - (1) - - - - - - - - - - - - - - -

D: + + (-1) - - - - - - - - - - - - - - - (1/√(3)) - - - - -  (1) + + + + + + + + + + +

T: + + (-1) - - - - - - - - - - - - - - - (1/√(3))  + + + + (1) - - - - - - - - - - - - - - - 

A noi interessano le parti negative, dunque:

-1 < t < (1)/(√(3)) ∨ t > 1

Ma il nostro t è la tangente!

Dunque dobbiamo risolvere le disequazioni elementari:

-1 < tan(x) < (1)/(√(3)) ∨ tan(x) > 1

-1 < tan(x) < (1)/(√(3)) ⇔ -(π)/(4) < x < (π)/(6)

tan(x) > 1 ⇔ (π)/(4) < x < (π)/(2)

Unisci le soluzioni e utilizza la periodicità della tangente :)

Torna?

Risposta di Ifrit

Sisi, ora torna tutto, grazie mille guru ;)

Risposta di ild0tt0re

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