Soluzioni
  • Ottime notizie per te, infatti abbiamo un'apposita lezione che tratta nel dettaglio la scelta della soluzione particolare per il metodo di somiglianza. :)

    Qui ti mostro lo svolgimento completo dell'equazione differenziale proposta, ma prima o dopo ti invito a prendere visione della lezione del link e della relativa tabella.

    Vogliamo risolvere l'equazione differenziale non omogenea, del secondo ordine e a coefficienti costanti

    y''(x)+3y'(x)=2\sin(x)

    e per farlo dovremo scrivere l'insieme delle soluzioni come somma tra lo spazio delle soluzioni dell'equazione differenziale omogenea associata e di una soluzione particolare della non omogenea:

    y(x)=y_O(x)+y_P(x)

    dove y_O(x) denoterà la famiglia di soluzioni dell'omogenea associata.

    Soluzioni dell'equazione differenziale omogenea associata

    Consideriamo l'equazione differenziale omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti

    y''+3y'=0

    e scriviamone il polinomio caratteristico

    \lambda^2+3\lambda=0

    da cui ricaviamo, grazie ad un banale raccoglimento totale e alla legge di annullamento del prodotto

    \lambda(\lambda+3)=0\ \to\ \lambda=0,\ \lambda=-3

    Poiché abbiamo due soluzioni reali e distinte sappiamo che tutte e sole le soluzioni dell'omogenea associata sono della forma

    y_O(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}

    ossia

    y_O(x)=c_1+c_2e^{-3x}

    al variare di c_1,c_2\in\mathbb{R}

    Soluzione particolare dell'equazione differenziale con il metodo di somiglianza

    Se decidiamo saggiamente di ricorrere al metodo di somiglianza

    y''(x)+3y'(x)=2\sin(x)

    per determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale devi sostituire una soluzione della forma

    y_P(x)=a\sin(x)+b\cos(x)

    Calcolare la derivata prima

    y'(x)=a\cos{(x)}-b\sin{(x)}

    Calcolare la derivata seconda

    y''(x)=-a\sin(x)-b\cos(x)

    e sostituire le derivate nell'equazione differenziale per determinare i coefficienti a,b:

    -a\sin{(x)}-b\cos{(x)}+3a\cos{(x)}-3b\sin{(x)}=2\sin{(x)}

    ossia

    (-a-3b)\sin{(x)}+(-b+3a)\cos{(x)}=2\sin{(x)}

    Dal confronto tra i due membri ricaviamo un sistema lineare

    \begin{cases}-a-3b=2\\ -b+3a=0\end{cases}

    da cui, procedendo ad esempio con il metodo di sostituzione, otteniamo le soluzioni

    a=-\frac{1}{5}\mbox{ ; }b=-\frac{3}{5}

    Dunque una soluzione particolare è data da

    y(x)=-\frac{1}{5}\sin(x)-\frac{3}{5}\cos(x)

    Tutte e sole le soluzioni dell'equazione differenziale sono date da

    y(x)=c_1+c_2e^{-3x}-\frac{1}{5}\sin(x)-\frac{3}{5}\cos(x)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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