Limite fratto con gli ordini di infinito

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Ciao a tutti, potete chiarirmi un dubbio sull'uso degli ordini di infinito per il calcolo di un limite?

 

Ho lim (per x -> -infinito) di [ e^(-4x) ] / [ x^8 ].

 

Come ragiono per capire il risultato conoscendo gli ordini di infinito? Vi ringrazio! :)

Domanda di revictor

 
Soluzioni

  • Ciao revictor arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Immagino che il limite sia:

    lim_(x → -∞) (e^(-4x))/(x^8) = [+∞/+∞]

    Vi sono molte strade per risolvere questa forma di indecisione. Una di queste è utilizzare De l'Hopital 8 volte O_O

    ma visto che non sono ancora impazzito ragioniamo in modo diverso:

    Scriviamo la funzione in modo che sia più gestibilie:

    lim_(x → -∞) (1)/(e^(4x) x^8)

    Consideriamo ora il limite:

    lim_(x → -∞) e^(4x)x^8 = 0

    Questo perché la funzione esponenziale batte la funzione polinomiale quando x tende a -infinito. 

    Di conseguenza

    lim_(x → -∞)(1)/(e^(4x) x^8) = [(1)/(0^+)] = +∞

    Risposta di Ifrit

  • ma se una funzione A  per x->+infinito è più veloce di una funzione B, per x->-infinito, questa rimane ancora più  veloce di B?

    Risposta di revictor

  • Non è detto. E' possibile che la funzione non sia nemmeno definita in -infinito. Cambiamo approccio, mi rendo conto di non essere stato molto chiaro.

    lim_(x → -∞)(e^(-4x))/(x^8)

    Poniamo t = -x e osserviamo che quando x tende a - infinito , t tende a più infinito.

     

    Il limite si riscrive come:

    lim_(t → +∞)(e^(4t))/((-t)^8) =

    lim_(t → +∞)(e^(4t))/(t^8)

    Poiché e^(4t) è un infinito di ordine superiore a qualsiasi polinomio, si ha che:

    lim_(t → +∞)(e^(4t))/(t^8) = +∞

     

    Va meglio? 

    Risposta di Ifrit
 
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