Soluzioni
  • Per determinare le soluzioni dell'equazione complessa

    z^4+\frac{1}{2}=|z|^2+\frac{5}{2}

    possiamo esprimere z nella sua forma algebrica, ponendo

    z=x+iy

    dove x \ \mbox{e} \ y sono due incognite reali e rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z.

    Servendoci del il triangolo di Tartaglia e della definizione di unità immaginaria calcoliamo la potenza di binomio (x+iy)^{4}

    z^4=(x+iy)^{4}=x^4+4 i x^3y-6x^2y^2-4ixy^3+y^4

    Dalla teoria, sappiamo che il modulo di un numero complesso si ottiene sfruttando la relazione

    |z|=\sqrt{x^2+y^2}\to |z|^2=x^2+y^2

    Rimpiazzando nell'equazione di partenza otteniamo

    x^4+4 i x^3y-6x^2y^2-4ixy^3+y^4+\frac{1}{2}=x^2+y^2+\frac{5}{2}

    Portando tutti i termini al primo membro e sommando tra loro i termini simili otteniamo

    -2-x^2+x^4-y^2-6x^2 y^2+y^4+i(4x^3 y-4 x y^3)=0

    Osserviamo che il primo membro è un numero complesso con parte reale e parte immaginaria

    \\ Re\left(-2-x^2+x^4-y^2-6x^2 y^2+y^4+i(4x^3 y-4 x y^3)\right)=-2-x^2+x^4-y^2-6x^2 y^2+y^4 \\ \\ \\ Im\left(-2-x^2+x^4-y^2-6x^2 y^2+y^4+i(4x^3 y-4 x y^3)\right)=4x^3 y-4 x y^3

    Usiamo il principio di identità dei numeri complessi: due numeri complessi in forma algebrica coincidono se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria. Tale principio permette di costruire il sistema

    \begin{cases}-2-x^2+x^4-y^2-6x^2y^2+y^4=0\\ 4x^3y-4x y^3=0\end{cases}

    che possiamo risolvere analizzando la seconda equazione

    4x^3y-4x y^3=0

    Raccogliamo totalmente 4xy e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto:

    4xy(x^2-y^2)=0\iff\begin{cases}x=0&\mbox{caso}\ 1\\ y=0&\mbox{caso} \ 2 \\ x^2=y^2&\mbox{caso} \ 3\end{cases}

    Partiamo dal caso 1, ossia x=0: sostituendo nella prima equazione del sistema ci riconduciamo all'analisi dell'equazione trinomia:

    -2-y^2+y^4=0

    che si risolve attraverso la sostituzione t=y^2 grazie alla quale ci riconduciamo ad un'equazione di secondo grado completa, risolvibile sfruttando la formula del delta

    \\ t^2-t-2=0 \\ \\ \Delta=b^2-4ac=1+8=9\implies\sqrt{\Delta}=3

    Da cui segue che le soluzioni in t sono

    t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\begin{cases}t=-1\\ t=2\end{cases}

    Ripristiniamo l'incognita reale y

    t=-1\to y^2=-1

    L'ultima equazione non ha soluzioni giacché non esiste alcun numero reale il cui quadrato sia un numero negativo.

    Dalla condizione t=2 otteniamo invece due soluzioni

    t=2\to y^2=2\to y=\pm\sqrt{2}

    Le prime due soluzioni dell'equazione di partenza sono quindi

    z=\sqrt{2}\vee z=-\sqrt{2}

     

    Caso 2: analizziamo il caso y=0. In tal caso l'equazione

    -2-x^2+x^4-y^2-6x^2y^2+y^4=0

    diventa

    -2-x^2+x^4=0\to x^4-x^2-2=0

    Tale equazione si risolve nello stesso modo visto per x=0. Otteniamo le soluzioni x=\pm\sqrt{2} e in tal caso

    z=\pm\sqrt{2}

    sono altre due soluzioni dell'equazione data.

     

    Caso 3: analizziamo il caso x^2=y^2 facendoci furbi. Eleviamo al quadrato i due membri così da ottenere la condizione

    x^4=y^4

    che ci permette di esprimere l'equazione

    -2-x^2+x^4-y^2-6x^2y^2+y^4=0

    come

    -4x^4-2x^2-2=0

    Proponiamo la sostituzione s=x^2, la quale ci permette di scrivere l'equazione equivalente

    -4s^2-2s-2=0

    il cui discriminante associato è negativo, infatti

    \Delta= b^2-4ac=4-32<0\implies \mbox{non ha soluzioni reali}

    dunque è inutile continuare giacché s è un'incognita reale.

    In definitiva le quattro soluzioni dell'equazione complessa sono

    z_1=-\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ z_2=-i\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ z_3=i\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ z_4=\sqrt{2}

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
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