Soluzioni di un'equazione complessa di quarto grado con modulo

Question

Come posso calcolare le soluzioni di questa equazione di quarto grado? C'è anche un modulo e non so come procedere. Calcolare le soluzioni dell'equazione z^4+(1)/(2) = |z|^2+(5)/(2)

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per determinare le soluzioni dell'equazione complessa z^4+(1)/(2) = |z|^2+(5)/(2) possiamo esprimere z nella sua forma algebrica, ponendo z = x+iy dove x e y sono due incognite reali e rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z. Servendoci del triangolo di Tartaglia e della definizione di unità immaginaria calcoliamo la potenza di binomio (x+iy)^(4) z^4 = (x+iy)^(4) = x^4+4 i x^3y-6x^2y^2-4ixy^3+y^4 Dalla teoria, sappiamo che il modulo di un numero complesso si ottiene sfruttando la relazione |z| = √(x^2+y^2) → |z|^2 = x^2+y^2 Rimpiazzando nell'equazione di partenza otteniamo x^4+4 i x^3y-6x^2y^2-4ixy^3+y^4+(1)/(2) = x^2+y^2+(5)/(2) Portando tutti i termini al primo membro e sommando tra loro i termini simili otteniamo-2-x^2+x^4-y^2-6x^2 y^2+y^4+i(4x^3 y-4 x y^3) = 0 Osserviamo che il primo membro è un numero complesso con parte reale e parte immaginaria ; Re(-2-x^2+x^4-y^2-6x^2 y^2+y^4+i(4x^3 y-4 x y^3)) = -2-x^2+x^4-y^2-6x^2 y^2+y^4 ; Im(-2-x^2+x^4-y^2-6x^2 y^2+y^4+i(4x^3 y-4 x y^3)) = 4x^3 y-4 x y^3 Usiamo il principio di identità dei numeri complessi: due numeri complessi in forma algebrica coincidono se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria. Tale principio permette di costruire il sistema -2-x^2+x^4-y^2-6x^2y^2+y^4 = 0 ; 4x^3y-4x y^3 = 0 che possiamo risolvere analizzando la seconda equazione 4x^3y-4x y^3 = 0 Raccogliamo totalmente 4xy e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto: 4xy(x^2-y^2) = 0 ⇔ x = 0 caso 1 ; y = 0 caso 2 ; x^2 = y^2 caso 3 Partiamo dal caso 1, ossia x = 0: sostituendo nella prima equazione del sistema ci riconduciamo all'analisi dell'equazione trinomia:-2-y^2+y^4 = 0 che si risolve attraverso la sostituzione t = y^2 grazie alla quale ci riconduciamo ad un'equazione di secondo grado completa, risolvibile sfruttando la formula del delta ; t^2-t-2 = 0 ; Δ = b^2-4ac = 1+8 = 9 ⇒ √(Δ) = 3 Da cui segue che le soluzioni in t sono t_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = t = -1 ; t = 2 Ripristiniamo l'incognita reale y t = -1 → y^2 = -1 L'ultima equazione non ha soluzioni giacché non esiste alcun numero reale il cui quadrato sia un numero negativo. Dalla condizione t = 2 otteniamo invece due soluzioni t = 2 → y^2 = 2 → y = ±√(2) Le prime due soluzioni dell'equazione di partenza sono quindi z = √(2)i ∨ z = -√(2)i Caso 2: analizziamo il caso y = 0. In tal caso l'equazione-2-x^2+x^4-y^2-6x^2y^2+y^4 = 0 diventa-2-x^2+x^4 = 0 → x^4-x^2-2 = 0 Tale equazione si risolve nello stesso modo visto per x = 0. Otteniamo le soluzioni x = ±√(2) e in tal caso z = ±√(2) sono altre due soluzioni dell'equazione data. Caso 3: analizziamo il caso x^2 = y^2 facendoci furbi. Eleviamo al quadrato i due membri così da ottenere la condizione x^4 = y^4 che ci permette di esprimere l'equazione-2-x^2+x^4-y^2-6x^2y^2+y^4 = 0 come-4x^4-2x^2-2 = 0 Proponiamo la sostituzione s = x^2, la quale ci permette di scrivere l'equazione equivalente-4s^2-2s-2 = 0 il cui discriminante associato è negativo, infatti Δ = b^2-4ac = 4-32 < 0 ⇒ non ha soluzioni reali dunque è inutile continuare giacché s è un'incognita reale. In definitiva le quattro soluzioni dell'equazione complessa sono z_1 = -√(2) ; z_2 = -i√(2) ; z_3 = i√(2) ; z_4 = √(2) Ecco fatto!