Integrale con risultato arcotangente

Salve, mi assilla un dubbio riguardo alla formula per integrali che danno come primitiva l'arcotangente. In pratica so che vale la formula

 

integrale di 1 / (x^2 + m^2) dx = 1/m * arctg (x/m) +C.

 

Poi però ho provato a calcolare un integrale con il calcolatore automatico:

 

Integrale di 1/(9x2+4)

 

e mi dà come risultato 1/6 arctg(3x/2) + C, al posto di 1/2 arctg (3x/2). Ora, sbaglio io o sbaglia il calcolatore?

Vi ringrazio in anticipo. :)

In Uni - Analisi - Domanda di xeltonx

Soluzioni

  • Ciao xelton arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • \int \frac{1}{9x^2+4}dx

    In questo caso cosa succede? Mentre nella formula hai al denominatore:

    x^2+m^2

    nell'esempio proposto hai invece

    9x^2+4

    vedi la differenza? Il polinomio nella formula è monico, cioè coefficiente del termine di secondo grado è 1, mentre il secondo polinomio non è monico, ma ha coefficiente 9. Che si fa?

    Siamo furbi:

    9x^2+4= 9\left(x^2+\frac{4}{9}\right) 

    Abbiamo messo in evidenza il nove.

    L'integrale quindi diventa:

    \int \frac{1}{9\left(x^2+\frac{4}{9}\right)}dx

    portando fuori un nono:

    \frac{1}{9}\int \frac{1}{x^2+\frac{4}{9}}dx

    Adesso per risolvere l'integrale puoi utilizzare la formula generalizzata (integrali notevoli), nel qual caso m=\frac{2}{3} :)

    Fammi sapere se funge :)

    Risposta di Ifrit

  • GRAZIE LRTI

    Risposta di xeltonx
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