Integrale doppio con sostituzioni fratte

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Devo risolvere un integrale doppio in cui è necessario ricorrere a delle sostituzioni fratte, che però comportano calcoli molto strani. Come posso risolvere? Ecco il testo

 

iint_(D)(xsin(y))/(y)dx dy

 

con dominio di integrazione

 

D = (x,y)∈R^2: 0 ≤ y ≤ (x)/(2), x^2+(y-1)^2 ≤ 1

 

Il libro suggerisce le seguenti sostituzioni

 

u = (y)/(x) ; v = (x^2+y^2)/(y)

 

però poi non so come impostare l'integrale doppio. Grazie.

Domanda di federico

 
Soluzioni

  • Il calcolo dell'integrale doppio

    iint_(D)(xsin(y))/(y)dx dy ; con D = (x,y)∈R^2: 0 ≤ y ≤ (x)/(2), x^2+(y-1)^2 ≤ 1

    si effettua agevolmente con la sostituzione

    u = (y)/(x) ; v = (x^2+y^2)/(y)

    È necessaria solo un po' di attenzione nei calcoli e nulla più.

    Prima di buttarci a capofitto nei conti è sempre buona cosa analizzare dal punto di vista geometrico il dominio di integrazione.

    La condizione

    0 ≤ y ≤ (x)/(2)

    individua i punti del primo quadrante che giacciono tra la retta di equazione y = 0 e la retta di equazione

    r: y = (x)/(2)

    La condizione

    x^2+(y-1)^2 ≤ 1

    individua l'insieme dei punti del piano interni alla circonferenza di equazione

    Γ: x^2+(y-1)^2 = 1

    di centro C(0,1) e raggio R = 1.

    L'insieme D definisce conseguentemente i punti del primo quadrante che giacciono tra la circonferenza Γ e la retta r.

    Potremmo pensare che le coordinate polari traslate siano sufficienti a risolvere l'esercizio, ma sono una strada da non tenere in considerazione perché mediante questa sostituzione la funzione integranda

    f(x,y) = (xsin(y))/(y)

    diventa tremendamente complicata da gestire. Utilizziamo invece la sostituzione proposta dal testo, grazie alla quale il dominio di integrazione si trasforma in

    D'= (u, v): 0 ≤ u ≤ (1)/(2), 0 ≤ v ≤ 2

    Quando si effettua una sostituzione negli integrali doppi è necessario calcolare la matrice Jacobiana J relativa al cambiamento di coordinate.

    Per determinarla dobbiamo esprimere le variabili x e y in funzione di u e v, impostando il sistema

    u = (x)/(y) ; v = (x^2+y^2)/(y)

    Dalla prima equazione segue immediatamente che y = u x e sostituendo nella seconda otteniamo

    v = (x^2+u^2x^2)/(ux) = (x^2 (1+u^2))/(ux) = (x (1+u^2))/(u)

    da cui

    x(u, v) = (u v)/(1+u^2) ; y(u, v) = (u^2 v)/(1+u^2)

    Calcoliamo le derivate parziali rispetto ad u e v di x(u, v) e y(u,v)

    x_(u)(u,v) = (v-u^2 v)/((1+u^2)^2) ; x_(v)(u, v) = (u)/(1+u^2) ; y_(u)(u, v) = (2u v)/((1+u^2)^2) ; y_(v)(u, v) = (u^2)/(1+u^2)

    e costruiamo finalmente la matrice

    J = [x_(u)(u,v) x_(v)(u, v) ; y_(u)(u,v) y_(v)(u,v)]

    il cui determinante preso in modulo è

    |det(J)| = (u^2 v)/((1+u^2)^2)

    Abbiamo quasi tutti gli strumenti necessari per risolvere l'integrale doppio, ci manca solo una cosa: esprimere l'integranda f(x,y) in funzione di u e v

    f(x(u,v),y(u,v)) = (sin((u^2 v)/(1+u^2)))/(u) = tildef(u,v)

    L'integrale di partenza diventa quindi

    iint_(D') tildef(u,v)·|det(J)|du dv = ∫_(0)^(2)[∫_(0)^((1)/(2))(sin((u^2 v)/(1+u^2)))/(u)·(u^2 v)/((1+u^2)^2)du]dv = ∫_(0)^(2)sin^2((v)/(10))dv = 1-(5)/(2)sin((2)/(5))

    È fatta! A proposito: se vuoi consultare gli esercizi sugli integrali doppi, ti rimando alla scheda del link.

    Risposta di Ifrit
 
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