Soluzioni
  • Per dimostrare che la somma 328^{3}+172^{3} è divisibile per 2000, partiamo dalla regola di scomposizione per la somma di cubi

    A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

    Se sostituiamo A con 328 e B con 172, l'uguaglianza diventa

    \\ 328^{3}+172^{3}=(328+172)(328^2-328\cdot 172+172^2)=\\ \\ =500\cdot (328^2-328\cdot 172+172^{2})

    Scomponiamo in fattori primi i numeri 328 e 172, sfruttando gli opportuni criteri di divisibilità

    \begin{array}{c|c}328&2\\ 164&2\\ 82&2\\ 41&41\\ 1&\end{array} \ \ \ \begin{array}{c|c}172&2\\ 86&2\\ 43&43\\ 1&\end{array}

    di conseguenza

    328=2^3\cdot 41 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ 172=2^2\cdot 43

    Grazie alle proprietà delle potenze l'espressione

    500\cdot (328^2-328\cdot 172+172^{2})=

    diventa

    \\ =500\cdot [(2^{3}\cdot 41)^2-2^{3}\cdot 41\cdot 2^2\cdot 43+(2^2\cdot 43)^2]= \\ \\ =500\cdot[2^{6}\cdot 41^2-2^{5}\cdot 41\cdot 43+2^{4}\cdot 43^2]=

    Mettiamo in evidenza il fattore comune 2^{4}

    =500\cdot 2^{4}\cdot [2^{2}\cdot 41^2-2\cdot 41\cdot 43+43^2]=

    e riscriviamolo come prodotto tra 2^{2}\ \mbox{e} \ 2^{2}

    =500\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot[2^{2}\cdot 41^2-2\cdot 41\cdot 43+43^2]=\\ \\ =2000\cdot 4\cdot [2^{2}\cdot 41^2-2\cdot 41\cdot 43+43^2]

    Abbiamo praticamente concluso, infatti abbiamo espresso la somma di cubi 328^{3}+172^{3} come prodotto di 2000 per un numero intero.

    Ne segue che 2000 è un divisore di 328^{3}+172^{3}

    Il secondo punto del problema chiede di dimostrare che la somma 3^{105}+4^{105} è divisibile per 7 e per portare a termine il nostro compito useremo i seguenti prodotti notevoli

    A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2) \\ \\ A^{5}+B^{5}=(A+B)(A^4-A^3B+A^2B^2-AB^3+B^4) \\ \\ A^{7}+B^{7}=(A+B)(A^6-A^5B+A^4B^2-A^3B^3+A^2B^4-AB^5+B^6)

    Partiamo dal presupposto che 105 si scompone nel prodotto 3\cdot 5\cdot 7

    3^{105}+4^{105}=3^{3\cdot 5\cdot 7}+4^{3\cdot 5\cdot 7}=

    In accordo con la definizione di potenza di una potenza, questa espressione può essere rivista come somma di cubi

    =(3^{5\cdot 7})^{3}+(4^{5\cdot 7})^3=

    che, grazie all'omonimo prodotto notevole, diventa

    =(3^{5\cdot 7}+4^{5\cdot 7})\left[(3^{35})^2-3^{35}\cdot 4^{35}+(4^{35})^2\right]=

    Per semplificare le notazioni, d'ora in poi indicheremo con P l'espressione che si trova tra parentesi quadre

    =(3^{5\cdot 7}+4^{5\cdot 7})\cdot P=

    Usiamo di nuovo la definizione di potenza di potenza per scrivere 3^{5\cdot 7}\ \mbox{e} \ 4^{5\cdot 7} come potenze quinte

    =((3^{7})^{5}+(4^{7})^5)\cdot P=

    e sfruttiamo la regola di scomposizione della somma

    =(3^{7}+4^7)\left[(3^7)^4-(3^7)^3(4^7)+(3^7)^2(4^7)^2-(3^7)(4^7)^3+(4^7)^4\right]\cdot P=

    Indichiamo con Q l'espressione tra parentesi quadre e continuiamo la scomposizione di

    =(3^7+4^7)\cdot Q\cdot P=

    usando il prodotto notevole relativo alla somma di potenze settime:

    \\ =(3+4)\left[3^6-3^5\cdot 4+3^4\cdot 4^2-3^3\cdot 4^3+3^2\cdot 4^4-3\cdot 4^5+4^6\right]\cdot Q\cdot P= \\ \\ =7\cdot R\cdot Q\cdot P

    dove R è l'espressione tra parentesi quadre. Abbiamo dimostrato che 3^{105}+4^{105} è un multiplo di 7, come volevamo.

    Risposta di Ifrit
 
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