Soluzioni
  • Per cominciare dobbiamo capire qual è la funzione di riferimento e qual è il punto in cui ne stiamo calcolando la derivata con la definizione. Non è difficile, basta avere un po' d'occhio

    \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

    Essendo il limite del rapporto incrementale

    \lim_{h\to 0}\frac{8(2+h)^3-8(2)^3}{h}

    è facile vedere che la funzione è data da

    f(x)=8x^3

    e che vogliamo calcolarne la derivata con la definizione nel punto x_0=2.

    Procediamo con il calcolo

    \lim_{h\to 0}\frac{8(2+h)^3-8(2)^3}{h}=

    Mettiamo in evidenza l'8

    \lim_{h\to 0}\frac{8[(2+h)^3-2^3]}{h}=

    Qui abbiamo due strade: o sviluppiamo il cubo di binomio oppure scomponiamo come differenza di cubi.

    Scelgo la seconda strada.

    Ricorda innanzitutto che:

    (A^3-B^3)= (A-B)(A^2+AB+B^2)

    dunque:

    (2+h)^3-2^3=(2+h-2)((2+h)^2+2(2+h)+4)

    (2+h)^3-2^3=h((2+h)^2+2(2+h)+4)

    Sostituendo avrai:

    \lim_{h\to 0}\frac{8[h((2+h)^2+2(2+h)+4)]}{h}=

    Semplifica h

    \lim_{h\to 0}8[((2+h)^2+2(2+h)+4)]=8(2^2+4+4)=8\cdot 12=96

    e abbiamo finito. ;)

    Risposta di Ifrit
  • Vi ringrazio!

    Risposta di luna12
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