Segno della derivata prima di una funzione con esponenziale fratto

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Durante lo studio di una funzione, e in particolare nello studio del segno della derivata prima, mi sono ritrovato una disequazione fratta con logaritmi ed esponenziali che non sono in grado di risolvere. Potreste aiutarmi?

 

Studiare il segno della derivata della seguente funzione:

 

f(x) = e^((1)/(ln(x)))x

 

Grazie.

Domanda di revictor

 
Soluzioni

  • Consideriamo la funzione

    f(x) = e^((1)/(ln(x)))x

    ed esplicitiamone il dominio imponendo i seguenti vincoli:

    - la condizione di esistenza del logaritmo: richiediamo che il suo argomento sia maggiore di zero, ossia x > 0;

    - la condizione di esistenza per le funzioni fratte: richiediamo che il denominatore contenente la variabile sia diverso da zero, ossia ln(x) ne 0.

    Proprio perché i due vincoli devono essere soddisfatti contemporaneamente, essi formeranno il sistema di disequazioni

    x > 0 ; ln(x) ne 0

    La prima relazione è già risolta, la seconda va trattata alla stregua di un'equazione logaritmica

    ln(x) ne 0 → x > 0 ; x ne 1

    da cui

    Dom(f) : x > 0 ∧ x ne 1

    che nella notazione tipica degli intervalli diviene

    Dom(f) = (0,1) U (1,+∞)

    Determinato il dominio, calcoliamo la derivata prima di f(x) con le usuali regole di derivazione.

    f'(x) = (d)/(dx)[e^((1)/(ln(x)))x] =

    Usiamo la regola per la derivata del prodotto:

    = (d)/(dx)[e^((1)/(ln(x)))]·x+e^((1)/(ln(x)))(d)/(dx)[x] =

    Deriviamo e^((1)/(ln(x))), avvalendoci della regola per la derivata di una funzione composta, e x

    = e^((1)/(ln(x)))(d)/(dx)[(1)/(ln(x))]x+e^((1)/(ln(x)))·1 =

    dopodiché usiamo la definizione di potenza con esponente negativo per esprimere (1)/(ln(x)) come (ln(x))^(-1)

    = e^((1)/(ln(x)))(d)/(dx)[(ln(x))^(-1)]x+e^((1)/(ln(x))) =

    e infine deriviamo la potenza del logaritmo

    = e^((1)/(ln(x)))·(-1)(ln(x))^(-2)·(d)/(dx)[ln(x)]x+e^((1)/(ln(x))) = e^((1)/(ln(x)))·(-(1)/(ln^2(x)))·(1)/(x)·x+e^((1)/(ln(x))) =

    A questo punto semplifichiamo x e svolgiamo i passaggi algebrici per migliorare l'estetica dell'espressione

    = e^((1)/(ln(x)))[1-(1)/(ln^2(x))] = e^((1)/(ln(x)))[(ln^2(x)-1)/(ln^2(x))]

    In definitiva, la derivata di f(x) è:

    f'(x) = e^((1)/(ln(x)))[(ln^2(x)-1)/(ln^2(x))]

    Per studiarne il segno consideriamo la disequazione

    f'(x) > 0 → e^((1)/(ln(x)))[(ln^2(x)-1)/(ln^2(x))] > 0

    ed osserviamo che nel dominio di f(x) il termine e^((1)/(ln(x))) è certamente positivo per via della funzione esponenziale, così come è positivo il termine ln^2(x) per via del quadrato, per cui essi non influenzano il segno di f'(x), che dipende esclusivamente dal segno di ln^2(x)-1

    f'(x) > 0 ⇔ ln^2(x)-1 > 0

    Risolviamo la disequazione logaritmica isolando ln^2(x) al primo membro

    ln^2(x) > 1 → ln(x) < -1 ∨ ln(x) > 1

    da cui, applicando l'esponenziale in base e ai membri delle due relazioni e tenendo conto del dominio di f(x) ricaviamo:

    0 < x < e^(-1) ∨ x > e

    Possiamo affermare che la derivata prima di f(x) è:

    - positiva in (0,e^(-1)) e in (e,+∞);

    - nulla per x = e^(-1) e per x = e;

    - negativa in (e^(-1),1) e in (1,e).

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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