Soluzioni
  • Ciao Zanzy9, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per il punto 1), segue direttamente dalla definizione di periodicità di una funzione, di cui parliamo qui

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/le-funzioni-da-r-a-r-in-generale/26-le-funzioni-periodiche.html

    Detto T il periodo della stessa, abbiamo che per ogni x\in Dom(f)

    f(x+T)=f(T)

    dunque l'asserto 1) è banale.

    Per quanto riguarda il punto 2), sicuro/a che non sia T/2 invece di 1/2?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • per il punto 1) non ho ben capito come fare a dimostrare l'esistenza di infinite coppie appartanenti a quell'intervallo

    per il punto 2) la traccia è quella è 1/2

    Risposta di zanzy9
  • Ok: in ogni caso, il modo di procedere è del tutto simile a quello che puoi trovare in questo topic:

    https://www.youmath.it/forum/analisi-1/4156-una-proprieta-delle-funzioni-periodiche-e-continue.html

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • OK OK er il secondo punto, quanto al primo invece? non mi è chiaro ..

     

    Risposta di zanzy9
  • Perdonami, ma ci credo che non hai capito il primo punto: avevo interpretato male la domanda! 

    Il secondo punto è giusto, vediamo il primo per benino...vogliamo mostrare che esistono infinite coppie (x_1,x_2)  di punti in [0,1] tali che risulti f(x_1)=f(x_2).

    La funzione considerata è periodica e continua, in particolare ha periodo 1. Da qui abbiamo che f(0)=f(1)=a. In particolare, la continuità della funzione sull'intervallo [0,1] garantisce che sia presente almeno un punto estremante (massimo o minimo), a meno che la funzione non sia costante, nel qual caso l'asserto sarebbe evidentemente verificato.

    Sia y_{0}=f(x_{0}) un tale valore estremante, che per fissare le idee supponiamo di massimo: basta osservare che per ogni valore k\in [a,y_0) l'equazione f(x)-k=0 ammette due soluzioni distinte. Abbiamo finito.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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