Ciao Zanzy9, arrivo a risponderti...
Una funzione di classe
su un intervallo
è una funzione continua e derivabile con derivata continua. Alla luce di questo fatto, dato che la funzione considerata è
ed è tale che
allora è vero che esiste
tale che
, basta osservare che sono date due possibilità:
- la funzione è costante su tutto l'asse reale:
- la funzione non è costante: in tal caso l'ipotesi che sia di classe
e l'esistenza di due asintoti orizzontali ci assicura dell'esistenza di almeno un estremante relativo (che poi sarà anche assoluto), e quindi dell'esistenza del punto cercato (l'annullarsi della derivata prima è condizione necessaria per l'esistenza di un punto estremante).
Poi...
1) f ammette minimo e/o massimo
Vero, per quanto visto sopra
2) f è limitata
Vero (basta applicare il teorema di Weierstrass su opportuni intervalli della forma
)
3) A contenuto in R limitato implica f(A) limitato
Vero, perché si prende l'immagine di un limitato mediante una funzione continua
4) |f'| ammette minimo
Vero, perché la derivata prima assume valori limitati.
Namasté!
ma il fatto che f ammette minimo e/o massimo cioè la 1) e anche la 4) sono vere solo per le ipotesi precedenti? cioè mi spiego, sono vere anche nel caso stia parlando di una funzione f:R→R di classe C1 (senza che sappia degli asintoti )?
L'ipotesi sugli asintoti orizzontali è essenziale: considera ad esempio la funzione
che è (in particolare) di classe
, e ha derivata prima
.
Namasté!
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