Esercizio sulle proprietà di una funzione di classe C1

Una funzione di classe su un intervallo è una funzione continua e derivabile con derivata continua. Alla luce di questo fatto, dato che la funzione considerata è ed è tale che 

allora è vero che esiste tale che , basta osservare che sono date due possibilità:

- la funzione è costante su tutto l'asse reale:  

- la funzione non è costante: in tal caso l'ipotesi che sia di classe e l'esistenza di due asintoti orizzontali ci assicura dell'esistenza di almeno un estremante relativo (che poi sarà anche assoluto), e quindi dell'esistenza del punto cercato (l'annullarsi della derivata prima è condizione necessaria per l'esistenza di un punto estremante).

Poi...

1) f ammette minimo e/o massimo

Vero, per quanto visto sopra

2) f è limitata

Vero (basta applicare il teorema di Weierstrass su opportuni intervalli della forma )

3) A contenuto in R limitato implica f(A) limitato

Vero, perché si prende l'immagine di un limitato mediante una funzione continua

4) |f'| ammette minimo

Vero, perché la derivata prima assume valori limitati.

Namasté!