Esercizio sulle proprietà di una funzione di classe C1

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Ho un'ultima domanda, un quesito sulle proprietà soddisfatte da funzione di classe C^1.

 

Sia f : R → R una funzione di classe C^1 tale che f(x)→k>0 per x→±∞. Dire se esiste z in R tale che f'(z)=0.

 

Sempre con una funzione di classe C1, dire se le seguenti affermazioni risultano vere o false motivandone le risposte

 

1) f ammette minimo e/o massimo

2) f è limitata

3) A contenuto in R limitato implica f(A) limitato

4) |f'| ammette minimo.

Domanda di zanzy9

 
Soluzioni

  • Ciao Zanzy9, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Una funzione di classe C^{1}(I) su un intervallo I è una funzione continua e derivabile con derivata continua. Alla luce di questo fatto, dato che la funzione considerata è C^1(\mathbb{R}) ed è tale che 

    \lim_{x\to \pm\infty}{f(x)}=k

    allora è vero che esiste z\in\mathbb{R} tale che f'(z)=0, basta osservare che sono date due possibilità:

    - la funzione è costante su tutto l'asse reale: f(x)=k\mbox{ }\forall x\in\mathbb{R} 

    - la funzione non è costante: in tal caso l'ipotesi che sia di classe C^1(\mathbb{R}) e l'esistenza di due asintoti orizzontali ci assicura dell'esistenza di almeno un estremante relativo (che poi sarà anche assoluto), e quindi dell'esistenza del punto cercato (l'annullarsi della derivata prima è condizione necessaria per l'esistenza di un punto estremante).

    Poi...

    1) f ammette minimo e/o massimo

    Vero, per quanto visto sopra

    2) f è limitata

    Vero (basta applicare il teorema di Weierstrass su opportuni intervalli della forma [-a,a])

    3) A contenuto in R limitato implica f(A) limitato

    Vero, perché si prende l'immagine di un limitato mediante una funzione continua

    4) |f'| ammette minimo

    Vero, perché la derivata prima assume valori limitati.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ma il fatto che f ammette minimo e/o massimo cioè la 1)  e anche la 4) sono vere solo per le ipotesi precedenti? cioè mi spiego, sono vere anche nel caso stia parlando di una funzione f:R→R di classe C1 (senza che sappia degli asintoti )?

    Risposta di zanzy9

  • L'ipotesi sugli asintoti orizzontali è essenziale: considera ad esempio la funzione 

    f(x)=e^x

    che è (in particolare) di classe C^{1}, e ha derivata prima f'(x)=e^x .

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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