Calcolare le potenze di monomi

Non so come si calcolano le potenze di monomi, o meglio, ho capito che devo usare le proprietà delle potenze però non capisco quali. Ad esempio, come si svolge il seguente esercizio?

Calcolare le seguenti potenze di monomi.

(−5a^2bc)^2 ; (2x^2y^3)^3 ; (−3a^2c^2d^2)^2 ; (−(1)/(3)abc)^2 ; ((3)/(2)x^2y^3)^3 ; (−(1)/(2)a^2c^4)^3

Grazie.

Domanda di tury46
Soluzione

Prima di dedicarci agli esercizi, apriamo un breve preambolo teorico. Ricordiamo che la potenza di un monomio è ancora un monomio con parte numerica data dalla potenza del coefficiente del monomio di base, e con parte letterale data dalla potenza della parte letterale del monomio di base.

Cerchiamo di essere più espliciti calcolando la prima potenza, distribuendo l'esponente a tutti i termini della base

(−5a^2bc)^2 = (−5)^2·(a^2)^2·b^2·c^2 =

dopodiché svolgiamo sia (−5)^2 (è la potenza di un numero negativo con all'esponente un numero pari) sia (a^2)^2 usando la regola sulla potenza di una potenza.

= 25a^(2·2)b^2c^2 = 25a^(4)b^2c^2

Con il medesimo ragionamento, possiamo calcolare tutte le altre.

Per esplicitare la potenza

(2x^2y^3)^3 =

distribuiamo l'esponente a ciascun fattore della base, e in seguito calcoliamo le potenze di potenze

= 2^3·(x^2)^3·(y^3)^3 = 8x^(2·3)y^(3·3) = 8x^6y^9

Continuiamo con

(−3a^2c^2d^2)^2 =

Distribuiamo il 2 a ciascun fattore della base e portiamo a termine i calcoli

= (−3)^2(a^2)^2·(c^2)^2·(d^2)^2 = 9a^(2·2)c^(2·2)d^(2·2) = 9a^4c^4d^4

Nel caso in cui il coefficiente è frazionario, il procedimento non cambia di una virgola. Per calcolare

(−(1)/(3)abc)^2 =

distribuiamo l'esponente a ciascun termine della base

= (−(1)/(3))^2a^2b^2c^2 =

dopodiché calcoliamo la potenza della frazione dando l'esponente sia al numeratore che al denominatore.

= (1)/(3^2)a^2b^2c^2 = (1)/(9)a^2b^2c^2

Osserviamo che il segno è passato da − a + perché l'esponente della potenza è pari!

Calcoliamo la seguente potenza

((3)/(2)x^2y^3)^3 =

Distribuiamo l'esponente a ciascun termine della base

= ((3)/(2))^3·(x^2)^3·(y^3)^3 =

e in seguito calcoliamo le potenze di potenze e il cubo della frazione

= (3^3)/(2^3)x^(2·3)·y^(3·3) = (27)/(8)x^(6)y^(9)

Determiniamo infine la potenza

(−(1)/(2)a^2c^4)^3 =

Distribuiamo l'esponente 3 a ciascun termine della base

= (−(1)/(2))^3·(a^2)^3·(c^4)^3 =

e terminiamo l'esercizio calcolando il cubo della frazione e le potenze di potenze

= −(1)/(2^3)a^(2·3)·c^(4·3) = −(1)/(8)a^6c^(12)

Ecco fatto!

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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