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  • In Matematica si dice prodotto il risultato della moltiplicazione tra due o più numeri. Più in generale il prodotto è il risultato della moltiplicazione tra due espressioni numeriche, due espressioni algebriche o due entità matematiche qualsiasi, per le quali si possa definire un'operazione di moltiplicazione.

    La seguente immagine, oltre a fornire un esempio di prodotto, dovrebbe aiutarti a fissare meglio le idee:

     

    Prodotto

     

    Riguardo ai termini della moltiplicazione, si distingue tra:

    - i fattori, ossia i numeri che vengono moltiplicati tra loro;

    - il prodotto, ossia il risultato dell'operazione di moltiplicazione.

    In sintesi, sebbene spesso moltiplicazione e prodotto vengano usati come sinonimi, in realtà sono due concetti ben distinti:

    - la moltiplicazione è un'operazione matematica;

    - il prodotto è il risultato della moltiplicazione.

    Da un punto di vista più ampio, e con un abuso di linguaggio comunemente accettato, il termine prodotto può riferirsi sia al risultato dell'operazione di moltiplicazione, sia all'operazione di moltiplicazione stessa.

    Riguardo ai simboli, ci sono diversi modi per indicare le moltiplicazioni. Alla Scuola Primaria, e per i primi tempi alle Scuole Medie, si utilizza il simbolo \times.

    Successivamente si predilige il simbolo \cdot, per evitare di fare confusione quando si studia il calcolo letterale (il simbolo \times potrebbe essere confuso con la lettera x).

    Infine è bene sapere che nel calcolo letterale il simbolo di moltiplicazione può essere omesso, nella fattispecie quando si possono accostare coppie di parentesi.

    Esempi sul calcolo del prodotto tra numeri

    Vediamo una carrellata di esempi sul prodotto tra numeri di vario tipo.

    1) Calcolare il prodotto tra i numeri naturali 3 e 5.

    Svolgiamo la moltiplicazione tra i due numeri, ottenendo

    3\times 5=15

    dunque il prodotto tra 3 e 5 è 15.

    2) Qual è il prodotto tra 12 e 6?

    In questo caso possiamo svolgere la moltiplicazione in colonna:

    \begin{array}{ccc} 1 & 2 & \times \\  & 6 & = \\ \cline{1-3}  7 & 2 & \end{array}

    3) Qual è il prodotto tra -6 e 7?

    Quando si calcolano le moltiplicazioni con i numeri relativi è importante applicare correttamente la regola dei segni:

    -6\times 7=-42

    4) Determinare il prodotto tra le frazioni 1/4 e 12/5.

    Per svolgere una moltiplicazione tra frazioni è necessario saper scomporre i numeri in fattori primi, così da poter semplificare a croce il numeratore di ciascun fattore con il denominatore dell'altro.

    \frac{1}{4}\times \frac{12}{5}=\frac{1}{2\times 2}\times \frac{3\times 2\times 2}{5}=\\ \\ \\ =\frac{1}{\not 2\ \times \not 2}\times \frac{3\ \times \not 2\ \times \not 2}{5}=\frac{3}{5}

    5) Quanto vale il prodotto tra le potenze 23 e 25?

    E il prodotto tra 23 e e 33?

    E ancora, il prodotto tra 23 e 32?

    Quando si deve calcolare il prodotto tra potenze è necessario capire se si possono applicare le proprietà delle potenze, controllando le basi e gli esponenti dei vari fattori.

    Se i due fattori hanno la stessa base, basta sommare gli esponenti

    2^3\cdot 2^5=2^{3+5}=2^8

    Se i due fattori hanno lo stesso esponente, basta moltiplicare le basi elevandole all'esponente

    2^3\cdot 3^3=(2\cdot 3)^3=6^3

    Se i due fattori hanno basi ed esponenti diversi, a meno di eventuali scomposizioni dovremo calcolare il prodotto tra gli sviluppi delle potenze

    2^3\cdot 3^2=8\cdot 9=72

    Oltre al prodotto tra numeri vi sono poi tantissimi altri tipi di prodotto. Vediamo i più semplici ed elementari.

    Prodotto tra monomi

    La moltiplicazione tra monomi è una tra le più semplici operazioni che si svolgono nel calcolo letterale. Dati due monomi qualsiasi, il loro prodotto è un monomio che ha:

    - come parte numerica, il prodotto dei coefficienti;

    - come parte letterale, il prodotto delle parti letterali.

    Più precisamente la parte letterale è costituita da tutte le lettere dei monomi di partenza, ciascuna con esponente dato dalla somma degli esponenti della lettera nei singoli monomi.

    Ricordiamo che se una lettera non è presente in un monomio possiamo sempre considerarla come se avesse esponente zero.

    Esempio di prodotto tra monomi

    Dati i due monomi

    4xy^2z^3\ \ ;\ \ -\frac{3}{2}axy

    il loro prodotto si ottiene moltiplicando tra loro le parti numeriche e le parti letterali.

    =\left(4xy^2z^3\right)\cdot \left(-\frac{3}{2}axy\right)=\\ \\ \\ \left[4\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)\right]a^{1+0}x^{1+1}y^{2+1}z^{3+0}=\\ \\ \\ =-6ax^2y^3z^3

    Prodotto di polinomi

    La moltiplicazione tra polinomi si svolge moltiplicando ciascun monomio del primo polinomio per tutti i monomi che costituiscono il secondo polinomio, prestando particolare attenzione ai segni.

    Vale la pena di sottolineare che nel contesto dei polinomi si omette il simbolo di moltiplicazione e ci si limita ad accostare i fattori tra parentesi.

    Esempio di prodotto tra polinomi

    Dati i polinomi

    x+y-3z\ \ ;\ \ 2x-3y

    per calcolare il polinomio prodotto moltiplichiamo ogni monomio del primo polinomio per ciascun monomio del secondo polinomio.

    (x+y-3z)(2x-3y)=\\ \\ x\cdot (2x-3y)+y\cdot (2x-3y)-3z\cdot (2x-3y)=\\ \\ 2x^2-3xy+2xy-3y^2-6xz+9yz=

    A questo punto non ci resta che sommare i monomi simili, e abbiamo finito

    =2x^2-xy-3y^2-6xz+9yz

    Prodotto cartesiano

    L'ultimo tipo di prodotto (tra quelli di livello meno avanzato ;) ) che menzioniamo è il prodotto cartesiano, un'operazione che viene svolta tra insiemi.

    Dati due insiemi A,B, il loro prodotto cartesiano si denota con A\times B ed è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate di elementi di A e di elementi di B.

    Esempio sul prodotto cartesiano

    Dati gli insiemi A,B, definiti come

    A=\{1,2,3\}\\ \\ B=\{x,y\}

    il loro prodotto cartesiano è l'insieme che possiamo rappresentare per caratteristica come

    A\times B=\{(a,b)\ |\ a\in A,\ b\in B\}

    o ancora, per elencazione:

    A\times B=\{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y),(3,x),(3,y)\}

    ***

    Ci fermiamo qui. Se vuoi approfondire ti raccomandiamo un'altra interessante lettura: operazioni matematiche - click!

    Risposta di Galois
 
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