Limite difficile con Taylor - Mc Laurin

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Dovrei calcolare il limite per x che tende a zero di una funzione dalla forma piuttosto complicata, in cui compare un coseno del logaritmo, un coseno dell'arcotangente, due esponenziali, un logaritmo e un seno. È tra gli esercizi sugli sviluppi di Taylor-Mc Laurin, ma non so neanche da dove partire.

 

lim_(x → 0^(+))(cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2))+cos(arctan(x))-e^(-(x^2)/(2)))/(ln(1+x^2)-sin(x^2))

Domanda di leoncinakiara

 
Soluzioni

  • Consideriamo il limite

    lim_(x → 0^(+))(cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2))+cos(arctan(x))-e^(-(x^2)/(2)))/(ln(1+x^2)-sin(x^2))

    Ad un'analisi preliminare comprendiamo che esso si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)]. Per risolverla in scioltezza, sfrutteremo gli sviluppi in serie di Taylor, partendo dal denominatore, il quale è formato da una differenza di due funzioni il cui sviluppo deriva da sviluppi di Taylor notevoli.

    Dall'espansione di Taylor associato alla funzione logaritmica

    ln(1+t) = t-(t^2)/(2)+o(t^2)

    otteniamo quello del termine ln(1+x^2) rimpiazzando ad ogni occorrenza di t la potenza x^2

    ln(1+x^2) = x^2-(x^4)/(2)+o(x^4)

    Per quanto riguarda la funzione seno, sappiamo che lo sviluppo di Taylor Mc Laurin arrestato al secondo ordine associato è

    sin(t) = t+o(t^2)

    e componendolo con x^2 otteniamo

    sin(x^2) = x^2+o(x^4)

    Con le espansioni ottenute, siamo in grado di determinare lo sviluppo associato al denominatore

    ln(1+x^2)-sin(x^2) = x^2-(x^4)/(2)+o(x^4)-x^2+o(x^4) = -(x^4)/(2)+o(x^4)

    Concentriamo le nostre attenzioni ai termini del numeratore, iniziando a sviluppare l'addendo cos(arctan(x)). Quando x tende a 0, anche l'arcotangente tende 0, dunque siamo autorizzati a sfruttare lo sviluppo notevole della funzione coseno

    cos(t) = 1-(t^2)/(2)+(t^4)/(24)+o(t^4)

    che composto con lo sviluppo dell'arcotangente

    arctan(x) = x-(x^3)/(3)+o(x^4)

    diventa

    cos(arctan(x)) = 1-((x-(x^3)/(3)+o(x^4))^2)/(2)+((x-(x^3)/(3)+o(x^3))^4)/(24)+o((x-(x^3)/(3)+o(x^4))^(4))

    Sfruttiamo le proprietà degli o-piccolo per semplificarlo il più possibile. Per x che tende a 0 sussiste la relazione asintotica

    (x-(x^3)/(3)+o(x^4))^(4) ~ _(x → 0)x^4

    dunque è valida l'uguaglianza

    o((x-(x^3)/(3)+o(x^4))^4) = o(x^4) per x → 0

    Grazie a tale identità otteniamo l'espansione

    cos(arctan(x)) = 1-((x-(x^3)/(3)+o(x^4))^2)/(2)+((x-(x^3)/(3)+o(x^3))^4)/(24)+o(x^4) =

    Sviluppiamo il quadrato e la quarta potenza del trinomio

    x-(x^3)/(3)+o(x^4)

    e trascuriamo tutte le potenze il cui esponente supera 4

    = 1-(x^2)/(2)+(3x^4)/(8)+o(x^4)

    Per ciò che riguarda il termine esponenziale e^(-(x^2)/(2)) possiamo avvalerci dello sviluppo

    e^(t) = 1+t+(t^2)/(2)+(t^3)/(6)+(t^4)/(24)+o(t^4)

    basta infatti rimpiazzare ad ogni occorrenza di t il termine -(x^2)/(2)

    e^(-(x^2)/(2)) = 1-(x^2)/(2)+(x^4)/(8)-(x^6)/(48)+(x^8)/(384)+o(x^8)

    In realtà, non abbiamo bisogno di tutti i termini, sono sufficienti i soli addendi con esponente minore o al più uguale a 4

    e^(-(x^2)/(2)) = 1-(x^2)/(2)+(x^4)/(8)+o(x^4)

    Il numeratore diventa quindi

    cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2))+cos(arctan(x))-e^(-(x^2)/(2)) = cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2))+1-(x^2)/(2)+(3)/(8)x^4-1+(x^2)/(2)-(x^4)/(8)+o(x^4) = cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2))+(1)/(4)x^4+o(x^4)

    Confrontiamo gli infinitesimi

    cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2)) e x^4

    calcolando il limite

    lim_(x → 0)(cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2)))/(x^4) = lim_(x → 0)(cos(ln(x)))/(x^4e^((1)/(x^2))) = 0

    Il risultato è 0 perché e^((1)/(x^2)) è un infinito che prende il sopravvento sugli altri termini. Dalla nullità del limite deduciamo che

    cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2)) = o(x^4) per x → 0

    pertanto 

    cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2))+(1)/(4)x^4+o(x^4) =

    diventa

    = (1)/(4)x^4+o(x^4)

    Con le informazioni in nostro possesso, il limite iniziale si esprime come

    lim_(x → 0^(+))(cos(ln(x))e^(-(1)/(x^2))+cos(arctan(x))-e^(-(x^2)/(2)))/(ln(1+x^2)-sin(x^2)) = lim_(x → 0)((1)/(4)x^4+o(x^4))/(-(x^4)/(2)+o(x^4)) = -(1)/(2)

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica