Integrale doppio con cambiamento di variabili

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Ho un integrale doppio da calcolare con un opportuno cambiamento di variabili, ma non riesco a capire che sostituzioni fare.

 

Lo riporto: calcola il seguente integrale doppio eseguendo un cambiamento di variabili a tua scelta:

 

∫∫x4 dxdy

 

dove A è il dominio di integrazione dato da

 

1 < xe^(2y) < 2 ; 2 < xe^(-2y) < 3

Domanda di firefly

 
Soluzioni

  • Io procederei in questo modo:

    u(x, y) = x e^(2y) ; v(x, y) = (x)/(e^(2y))

     

    Dalla seconda equazione segue che 

    x = v e^(2y) heartsuit

    Sostituendo nella prima equazione:

    u = v e^(2y) e^(2 y) = v e^(4 y)

    Pertanto: 

    e^(4y) = (u)/(v) ⇒ y = (1)/(4)ln((u)/(v))

    Sostiuendo il valore ottenuto nella equazione hearsuit avremo:

    x = v e^(2·(1)/(4)ln((u)/(v))) = v √((u)/(v))

     

    A questo punto costruiamo la matrice Jacobiana:

    J = [u_x(x, y) u_y(x, y) ; v_x(x, y) v_y(x, y) ] =

    J = [e^(2y) 2xe^(2y) ; e^(-2y) -2x e^(-2y) ]

     

    Lo Jacobiano associato alla trasfromazione diretta è:

    |det(J)| = 4x

    Dal teorema dell'inversione locale si ha che:

    |det(J_(u, v))| = (1)/(4x) = (1)/(v √((u)/(v)))

     

    A questo punto possiamo notare che grazie a questa sostituzione il dominio diventa:

    1 < u < 2, 2 < v < 3

    L'integrale si riscrive quindi come:

    ∫_1^2 ∫_2^3 (v √((u)/(v)))^4  (1)/(v √((u)/(v)))dv du =

    ∫_1^2 ∫_2^3 v^4 (u^2)/(v^2) (1)/(v)(√(v))/(√(u))dvdu =

    ∫_1^2 u^((3)/(2)) du ∫_2^3 v^((3)/(2)) dv =

    (4)/(25)(36√(6)-9√(3)+4√(2)-32)

    Che integrale del caiesar

    Risposta di Ifrit
 
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