Soluzioni
  • Io procederei in questo modo:

    \begin{cases}u(x, y)=x e^{2y}\\ v(x, y)= \frac{x}{e^{2y}}\end{cases}

     

    Dalla seconda equazione segue che 

    x= v e^{2y}\quad\heartsuit

    Sostituendo nella prima equazione:

    u= v e^{2y} e^{2 y}= v e^{4 y}

    Pertanto: 

    e^{4y}= \frac{u}{v}\implies y= \frac{1}{4}\ln\left(\frac{u}{v}\right)

    Sostiuendo il valore ottenuto nella equazione \hearsuit avremo:

    x= v e^{2\cdot\frac{1}{4}\ln\left(\frac{u}{v}\right)}= v \sqrt{\frac{u}{v}}

     

    A questo punto costruiamo la matrice Jacobiana:

    J= \begin{pmatrix}u_x(x, y)& u_y(x, y)\\ v_x(x, y)& v_y(x, y) \end{pmatrix}=

    J=\begin{pmatrix}e^{2y}& 2xe^{2y}\\ e^{-2y}&-2x e^{-2y} \end{pmatrix}

     

    Lo Jacobiano associato alla trasfromazione diretta è:

    |\mbox{det}(J)|= 4x

    Dal teorema dell'inversione locale si ha che:

    |\mbox{det}(J_(u, v))|= \frac{1}{4x}= \frac{1}{v \sqrt{\frac{u}{v}}}

     

    A questo punto possiamo notare che grazie a questa sostituzione il dominio diventa:

    1\textless u\textless 2, 2\textless v\textless 3

    L'integrale si riscrive quindi come:

    \int_1^2 \int_2^3 (v \sqrt{\frac{u}{v}})^4  \frac{1}{v \sqrt{\frac{u}{v}}}dv du=

    \int_1^2 \int_2^3 v^4 \frac{u^2}{v^2} \frac{1}{v}\frac{\sqrt{v}}{\sqrt{u}}dvdu=

    \int_1^2 u^{\frac{3}{2}} du \int_2^3 v^{\frac{3}{2}} dv=

    \frac{4}{25}(36\sqrt{6}-9\sqrt{3}+4\sqrt{2}-32)

    Che integrale del caiesar

    Risposta di Ifrit
 
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