massimi e minimi

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consideriamo la funzione descritta per casi 

 

 

          /x/ - 1  con x [-1;0) U (0;1]

f(x)=

         1          con x=0

 

trovare, se esistono, massimo e minimo della funzione oppure gli estremi inferiore e superiore.

 

grazie! 

Domanda di giuliaice

 
Soluzioni

  • Ciao Giuliaice, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Ciao Giuliaice arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Who's going there? Laughing

    Risposta di Omega

  • La funzione è 

    f(x)= \begin{cases}|x|-1&\mbox{ se }x\in [-1, 0)\cup (0, 1]\\1 & \mbox{ se }x=0 \end{cases}

     

    Giusto?

    Risposta di Ifrit

  • Io, vado io, non t'avevo proprio visto xD

    Risposta di Ifrit

  • la funzione è quella, si! grazie :D

    Risposta di giuliaice

  • Già che ci siamo, leggi il regolamento, Giuliaice...grazie.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • letto. ringrazio!

    Risposta di giuliaice

  • La funzione è definita in un compatto, ma attenzione non è continua, quindi il teorema di Weiestrass non vale, non abbiamo cioè assicurata l'esistenza del massimo e del minimo assoluti.

    Grazie alle proprietà del valore assoluto possiamo riscrivere la funzione come segue:

    f(x)=\begin{cases}x-1&\mbox{ se }x\in (0, 1]\\ -x-1&\mbox{ se }x\in [1, 0)\\ 1&\mbox{ se }x=0 \end{cases}

    Studiamo la derivata prima della funzione per casi:

    •x\in (0, 1]

    In questo intervallo la funzione assume la forma:

    f(x)= x-1\implies f'(x)= 1\quad\forall x\in (0, 1)

    La derivata prima è positiva quindi la funzione è crescente di conseguenza avrà sup per x=1, ma x=1\in (0, 1], pertanto non è soltanto sup ma anche punto di massimo assoluto, il massimo vale :

    f(1)= 0

    \inf_{(0, 1]}f=\lim_{x\to 0}x-1= -1

    Questo è dovuto ad un noto teorema sulle funzioni monotone! :)

    • x\in [-1, 0)

    In questo intervallo la funzione assume la forma:

    f(x)= -x-1\implies f'(x)= -1\quad\forall x\in (-1,0)

    La derivata prima è negativa quindi la funzione è decrescente di conseguenza avrà sup per x=-1, ma x=-1\in [-1,0), pertanto non è soltanto sup ma anche punto di massimo , il massimo vale :

    f(-1)= 0

    Inoltre:

    \inf_{[-1, 0)}f=\lim_{x\to 0}-x-1= -1

     

    Ricapitolando abbiamo 2 massimi per i punti x_1=-1, x_2= 1, e i massimi valgono 0, mentre l'estremo inferiore è -1. Finito ! :D

    Risposta di Ifrit

  • hai salvato il mio pomeriggio di studio, grazie!

    Risposta di giuliaice
 
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